Номер 76, страница 31 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

76. Диагональ осевого сечения цилиндра равна 24 см, а угол между ней и образующей цилиндра — $60^{\circ}$. Найдите:

а) высоту цилиндра;

б) радиус цилиндра;

в) площадь сечения.

Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник. Стороны этого прямоугольника равны высоте цилиндра (h, она же образующая) и диаметру его основания (d). Диагональ этого прямоугольника (D) является гипотенузой в прямоугольном треугольнике, катетами которого являются высота h и диаметр d.

По условию задачи дано:

• Диагональ осевого сечения $D = 24$ см.
• Угол между диагональю D и образующей h равен $60^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой h, диаметром d и диагональю D. В этом треугольнике D является гипотенузой, h и d — катетами.

а) высоту цилиндра;

Высота цилиндра h является катетом, прилежащим к углу $60^\circ$. Для нахождения его длины воспользуемся определением косинуса угла в прямоугольном треугольнике:

$ \cos(\alpha) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} $

$ \cos(60^\circ) = \frac{h}{D} $

Выразим отсюда высоту h:

$ h = D \cdot \cos(60^\circ) $

Подставим известные значения, зная, что $ \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} $:

$ h = 24 \cdot \frac{1}{2} = 12 $ см.

Ответ: высота цилиндра равна 12 см.

б) радиус цилиндра;

Сначала найдем диаметр основания d. В нашем прямоугольном треугольнике диаметр d — это катет, противолежащий углу $60^\circ$. Воспользуемся определением синуса угла:

$ \sin(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} $

$ \sin(60^\circ) = \frac{d}{D} $

Выразим отсюда диаметр d:

$ d = D \cdot \sin(60^\circ) $

Подставим известные значения, зная, что $ \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} $:

$ d = 24 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 12\sqrt{3} $ см.

Радиус цилиндра (r) равен половине диаметра:

$ r = \frac{d}{2} = \frac{12\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3} $ см.

Ответ: радиус цилиндра равен $6\sqrt{3}$ см.

в) площадь сечения.

Площадь осевого сечения (S) — это площадь прямоугольника со сторонами h и d.

$ S = h \cdot d $

Из предыдущих пунктов мы знаем, что $h = 12$ см и $d = 12\sqrt{3}$ см.

Подставим эти значения в формулу площади:

$ S = 12 \cdot 12\sqrt{3} = 144\sqrt{3} $ см².

Ответ: площадь сечения равна $144\sqrt{3}$ см².