Номер 83, страница 31 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

83. Через образующие $AB$ и $CD$ цилиндра с радиусом основания $r$ и высотой $h$ проведено сечение, которое отсекает от окружности основания дугу в $60^\circ$. Найдите площадь этого сечения.

Сечение, проходящее через две образующие $AB$ и $CD$ цилиндра, является прямоугольником $ABDC$. Это следует из того, что образующие цилиндра параллельны и равны, а также перпендикулярны плоскостям оснований.

Для нахождения площади этого прямоугольника необходимо найти длины его смежных сторон.

Одна сторона прямоугольника, например $AB$, является образующей цилиндра. Ее длина равна высоте цилиндра $h$.

Другая сторона, $AC$, является хордой в основании цилиндра. По условию, эта хорда стягивает дугу в $60^\circ$. Рассмотрим треугольник $\triangle AOC$, где $O$ — центр окружности основания, а $A$ и $C$ — точки на этой окружности. Стороны $OA$ и $OC$ равны радиусу основания $r$. Центральный угол $\angle AOC$ равен градусной мере дуги, на которую он опирается, то есть $\angle AOC = 60^\circ$.

Таким образом, треугольник $\triangle AOC$ является равнобедренным ($OA = OC = r$) с углом при вершине $60^\circ$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому углы при основании $\angle OAC$ и $\angle OCA$ равны: $\angle OAC = \angle OCA = \frac{180^\circ - 60^\circ}{2} = 60^\circ$. Все углы треугольника $\triangle AOC$ равны $60^\circ$, следовательно, он является равносторонним. Это означает, что длина хорды $AC$ равна длине радиуса: $AC = r$.

Площадь $S$ сечения (прямоугольника $ABDC$) равна произведению длин его смежных сторон: $S = AB \cdot AC = h \cdot r$

Ответ: $rh$.