Номер 78, страница 31 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

78. Осевое сечение цилиндра — квадрат, диагональ которого равна 40 см.

Найдите:

а) высоту цилиндра;

б) площадь основания цилиндра;

в) боковую поверхность цилиндра;

г) полную поверхность цилиндра.

По условию задачи, осевое сечение цилиндра — это квадрат. Диагональ этого квадрата равна $d_{кв} = 40$ см. Стороны осевого сечения равны высоте цилиндра $h$ и диаметру его основания $d$. Поскольку сечение является квадратом, то его стороны равны: $h = d$. Обозначим сторону квадрата как $a$, тогда $h = d = a$.

Связь между стороной квадрата $a$ и его диагональю $d_{кв}$ выражается по теореме Пифагора: $a^2 + a^2 = d_{кв}^2$, или $d_{кв} = a\sqrt{2}$. Отсюда мы можем найти сторону квадрата $a$:

$a = \frac{d_{кв}}{\sqrt{2}} = \frac{40}{\sqrt{2}} = \frac{40\sqrt{2}}{2} = 20\sqrt{2}$ см.

Таким образом, высота цилиндра $h = 20\sqrt{2}$ см и диаметр его основания $d = 20\sqrt{2}$ см.

Высота цилиндра $h$ равна стороне квадрата осевого сечения. $h = a = 20\sqrt{2}$ см.
Ответ: $20\sqrt{2}$ см.

Основание цилиндра — это круг. Площадь круга ($S_{осн}$) вычисляется по формуле $S_{осн} = \pi r^2$, где $r$ — радиус основания. Радиус равен половине диаметра: $r = \frac{d}{2} = \frac{20\sqrt{2}}{2} = 10\sqrt{2}$ см. Теперь найдем площадь основания: $S_{осн} = \pi \cdot (10\sqrt{2})^2 = \pi \cdot (100 \cdot 2) = 200\pi$ см².
Ответ: $200\pi$ см².

Площадь боковой поверхности цилиндра ($S_{бок}$) вычисляется по формуле $S_{бок} = 2\pi r h$. Мы уже знаем, что $r = 10\sqrt{2}$ см и $h = 20\sqrt{2}$ см. Подставим эти значения в формулу: $S_{бок} = 2\pi \cdot (10\sqrt{2}) \cdot (20\sqrt{2}) = 2\pi \cdot (10 \cdot 20) \cdot (\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}) = 2\pi \cdot 200 \cdot 2 = 800\pi$ см².
Ответ: $800\pi$ см².

Площадь полной поверхности цилиндра ($S_{полн}$) — это сумма площади боковой поверхности и двух площадей оснований: $S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн}$. Используя найденные ранее значения: $S_{полн} = 800\pi + 2 \cdot 200\pi = 800\pi + 400\pi = 1200\pi$ см².
Ответ: $1200\pi$ см².