Номер 77, страница 31 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

77. Цилиндр получен вращением квадрата со стороной $a$ вокруг одной из его сторон. Найдите:

а) площадь осевого сечения цилиндра;

б) площадь боковой и полной поверхности цилиндра.

Когда квадрат со стороной $a$ вращается вокруг одной из своих сторон, образуется цилиндр. Сторона, вокруг которой происходит вращение, становится высотой цилиндра $h$. Другая сторона, перпендикулярная оси вращения, определяет радиус основания цилиндра $r$.
Следовательно, для полученного цилиндра имеем:
Высота $h = a$
Радиус основания $r = a$

а) площадь осевого сечения цилиндра;

Осевое сечение цилиндра — это сечение плоскостью, проходящей через его ось. Такое сечение всегда является прямоугольником.
Высота этого прямоугольника равна высоте цилиндра $h$, а его ширина равна диаметру основания цилиндра $d$.
Высота сечения: $h = a$.
Ширина сечения: $d = 2r = 2a$.
Площадь осевого сечения $S_{осевого}$ равна произведению его сторон:
$S_{осевого} = h \cdot d = a \cdot (2a) = 2a^2$.
Ответ: $2a^2$.

б) площадь боковой и полной поверхности цилиндра.

Площадь боковой поверхности цилиндра $S_{бок}$ вычисляется по формуле:
$S_{бок} = 2 \pi r h$
Подставим в формулу значения $r = a$ и $h = a$:
$S_{бок} = 2 \pi \cdot a \cdot a = 2 \pi a^2$.

Площадь полной поверхности цилиндра $S_{полн}$ складывается из площади боковой поверхности и площадей двух оснований (двух кругов).
Площадь одного основания $S_{осн}$ вычисляется по формуле:
$S_{осн} = \pi r^2 = \pi a^2$.
Тогда площадь полной поверхности равна:
$S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн} = 2 \pi a^2 + 2 \cdot (\pi a^2) = 4 \pi a^2$.
Ответ: площадь боковой поверхности равна $2 \pi a^2$, площадь полной поверхности равна $4 \pi a^2$.