Номер 86, страница 31 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

86. Высота цилиндра равна $h$, а площадь осевого сечения — $S$. Найдите площадь сечения цилиндра плоскостью, параллельной его оси и отстоящей от нее на $d$.

Обозначим искомую площадь сечения как $S_{сеч}$.

Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник. Одна сторона этого прямоугольника равна высоте цилиндра $h$, а вторая сторона равна диаметру основания цилиндра $D$. Пусть $R$ — это радиус основания, тогда $D = 2R$.

Площадь осевого сечения $S$ дается формулой:
$S = D \cdot h = 2R \cdot h$

Из этой формулы можно выразить радиус основания цилиндра $R$:
$R = \frac{S}{2h}$

Сечение, проведенное плоскостью, параллельной оси цилиндра, также является прямоугольником. Одна сторона этого прямоугольника равна высоте цилиндра $h$. Вторая сторона, обозначим ее $a$, является хордой в окружности основания цилиндра. Площадь этого сечения $S_{сеч}$ вычисляется как:
$S_{сеч} = a \cdot h$

Для нахождения длины хорды $a$ рассмотрим основание цилиндра. Это окружность радиуса $R$. Плоскость сечения отстоит от оси на расстояние $d$, следовательно, хорда $a$ находится на расстоянии $d$ от центра окружности. Половина хорды $(\frac{a}{2})$, расстояние $d$ и радиус $R$ (проведенный к одному из концов хорды) образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике $R$ — гипотенуза, а $d$ и $\frac{a}{2}$ — катеты.

По теореме Пифагора:
$R^2 = d^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2$

Выразим из этого уравнения $\frac{a}{2}$:
$\left(\frac{a}{2}\right)^2 = R^2 - d^2$
$\frac{a}{2} = \sqrt{R^2 - d^2}$

Следовательно, полная длина хорды $a$ равна:
$a = 2\sqrt{R^2 - d^2}$

Теперь подставим это выражение для $a$ в формулу для площади искомого сечения:
$S_{сеч} = a \cdot h = (2\sqrt{R^2 - d^2}) \cdot h = 2h\sqrt{R^2 - d^2}$

На последнем шаге заменим радиус $R$ на выражение $R = \frac{S}{2h}$, полученное из данных об осевом сечении:
$S_{сеч} = 2h\sqrt{\left(\frac{S}{2h}\right)^2 - d^2}$

Упростим полученное выражение:
$S_{сеч} = 2h\sqrt{\frac{S^2}{4h^2} - d^2} = 2h\sqrt{\frac{S^2 - 4h^2d^2}{4h^2}}$
$S_{сеч} = 2h \frac{\sqrt{S^2 - 4h^2d^2}}{\sqrt{4h^2}} = 2h \frac{\sqrt{S^2 - 4h^2d^2}}{2h}$
$S_{сеч} = \sqrt{S^2 - 4h^2d^2}$

Данное сечение существует при условии, что плоскость пересекает цилиндр, а не проходит мимо него, то есть $d \le R$. Это условие эквивалентно $d \le \frac{S}{2h}$, или $S^2 - 4h^2d^2 \ge 0$.

Ответ: $\sqrt{S^2 - 4h^2d^2}$