Номер 96, страница 32 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

96. При вращении прямоугольника вокруг неравных сторон получаются цилиндры, полные поверхности которых равны $S_1$ и $S_2$. Найдите диагональ прямоугольника.

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$, где $a \neq b$. Диагональ прямоугольника $d$ находится по теореме Пифагора: $d^2 = a^2 + b^2$.

При вращении прямоугольника вокруг одной из его сторон образуется цилиндр. Формула полной поверхности цилиндра: $S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн} = 2\pi rh + 2\pi r^2 = 2\pi r(h+r)$, где $r$ - радиус основания, а $h$ - высота цилиндра.

Рассмотрим два случая вращения:

1. Вращение вокруг стороны $a$. В этом случае высота полученного цилиндра будет $h_1 = a$, а радиус его основания $r_1 = b$. Полная поверхность этого цилиндра, равная $S_1$, вычисляется по формуле:
$S_1 = 2\pi r_1(h_1+r_1) = 2\pi b(a+b)$.

2. Вращение вокруг стороны $b$. В этом случае высота цилиндра будет $h_2 = b$, а радиус его основания $r_2 = a$. Полная поверхность этого цилиндра, равная $S_2$, вычисляется по формуле:
$S_2 = 2\pi r_2(h_2+r_2) = 2\pi a(b+a)$.

Мы получили систему из двух уравнений с неизвестными $a$ и $b$:

$S_1 = 2\pi b(a+b)$ (1)
$S_2 = 2\pi a(a+b)$ (2)

Поскольку по условию стороны неравны, то $a \neq 0$, $b \neq 0$, $a+b \neq 0$ и $S_1 \neq 0$, $S_2 \neq 0$. Разделим уравнение (2) на уравнение (1):

$\frac{S_2}{S_1} = \frac{2\pi a(a+b)}{2\pi b(a+b)} = \frac{a}{b}$

Из этого соотношения выразим $a$:

$a = b \cdot \frac{S_2}{S_1}$

Подставим полученное выражение для $a$ в уравнение (1):

$S_1 = 2\pi b \left( b \cdot \frac{S_2}{S_1} + b \right) = 2\pi b \cdot b \left( \frac{S_2}{S_1} + 1 \right) = 2\pi b^2 \left( \frac{S_2+S_1}{S_1} \right)$

Теперь выразим $b^2$ из этого уравнения:

$S_1 \cdot S_1 = 2\pi b^2 (S_1+S_2)$

$b^2 = \frac{S_1^2}{2\pi(S_1+S_2)}$

Теперь найдем $a^2$, используя ранее найденное соотношение $a = b \frac{S_2}{S_1}$, откуда $a^2 = b^2 \left( \frac{S_2}{S_1} \right)^2$:

$a^2 = \frac{S_1^2}{2\pi(S_1+S_2)} \cdot \frac{S_2^2}{S_1^2} = \frac{S_2^2}{2\pi(S_1+S_2)}$

Мы ищем диагональ прямоугольника $d$. Квадрат диагонали равен сумме квадратов его сторон: $d^2 = a^2 + b^2$. Подставим найденные выражения для $a^2$ и $b^2$:

$d^2 = \frac{S_2^2}{2\pi(S_1+S_2)} + \frac{S_1^2}{2\pi(S_1+S_2)} = \frac{S_1^2 + S_2^2}{2\pi(S_1+S_2)}$

Следовательно, диагональ $d$ равна:

$d = \sqrt{\frac{S_1^2 + S_2^2}{2\pi(S_1+S_2)}}$

Ответ: $d = \sqrt{\frac{S_1^2 + S_2^2}{2\pi(S_1+S_2)}}$