Номер 99, страница 33 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

99*. Треугольная пирамида, все ребра которой равны $a$, и цилиндр расположены так, что одна вершина пирамиды является центром основания цилиндра, а три остальные лежат на окружности другого основания (рис. 58). Найдите полную поверхность цилиндра.

По условию задачи, дана правильная треугольная пирамида (тетраэдр), все ребра которой равны $a$. Также дан цилиндр. Одна вершина пирамиды, назовем ее $S$, является центром одного основания цилиндра. Три другие вершины, назовем их $A$, $B$, $C$, лежат на окружности другого основания цилиндра.

Для нахождения полной поверхности цилиндра нам нужно найти его радиус $r$ и высоту $h$. Формула для полной поверхности цилиндра: $S_{полн} = 2 \cdot S_{осн} + S_{бок} = 2\pi r^2 + 2\pi rh = 2\pi r(r+h)$.

1. Нахождение радиуса цилиндра $r$

Вершины $A$, $B$, $C$ лежат на окружности основания цилиндра. Так как все ребра пирамиды равны $a$, то треугольник $ABC$ в основании является равносторонним со стороной $a$. Радиус цилиндра $r$ равен радиусу окружности, описанной около равностороннего треугольника $ABC$.

Радиус $R$ окружности, описанной около равностороннего треугольника со стороной $a$, вычисляется по формуле:

$r = R = \frac{a}{\sqrt{3}}$

Рационализируем знаменатель (хотя это не обязательно на данном этапе):

$r = \frac{a\sqrt{3}}{3}$

2. Нахождение высоты цилиндра $h$

Высота цилиндра $h$ — это расстояние между его основаниями. В нашем случае, это расстояние от вершины $S$ до плоскости треугольника $ABC$. Пусть $O$ — центр треугольника $ABC$ (который также является центром основания цилиндра). Тогда высота цилиндра $h$ равна высоте тетраэдра $SO$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOA$.

• Гипотенуза $SA$ — это боковое ребро тетраэдра, $SA = a$.
• Катет $OA$ — это радиус описанной окружности около треугольника $ABC$, который мы уже нашли: $OA = r = \frac{a}{\sqrt{3}}$.
• Катет $SO$ — это искомая высота $h$.

По теореме Пифагора:

$SA^2 = SO^2 + OA^2$

$a^2 = h^2 + r^2$

Подставим значение $r$:

$a^2 = h^2 + \left(\frac{a}{\sqrt{3}}\right)^2$

$a^2 = h^2 + \frac{a^2}{3}$

Выразим $h^2$:

$h^2 = a^2 - \frac{a^2}{3} = \frac{3a^2 - a^2}{3} = \frac{2a^2}{3}$

Отсюда находим высоту $h$:

$h = \sqrt{\frac{2a^2}{3}} = a\sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

3. Нахождение полной поверхности цилиндра

Теперь, когда у нас есть выражения для радиуса $r$ и высоты $h$, мы можем вычислить полную поверхность цилиндра.

$S_{полн} = 2\pi r(r+h)$

Подставим наши значения для $r$ и $h$:

$r = \frac{a}{\sqrt{3}}$

$h = \frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

$S_{полн} = 2\pi \left(\frac{a}{\sqrt{3}}\right) \left(\frac{a}{\sqrt{3}} + \frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\right)$

Вынесем общий множитель $\frac{a}{\sqrt{3}}$ из скобок:

$S_{полн} = 2\pi \left(\frac{a}{\sqrt{3}}\right) \left(\frac{a(1+\sqrt{2})}{\sqrt{3}}\right)$

Перемножим дроби:

$S_{полн} = 2\pi \frac{a^2(1+\sqrt{2})}{(\sqrt{3})^2}$

$S_{полн} = 2\pi \frac{a^2(1+\sqrt{2})}{3}$

$S_{полн} = \frac{2\pi a^2(1+\sqrt{2})}{3}$

Ответ: Полная поверхность цилиндра равна $\frac{2\pi a^2(1+\sqrt{2})}{3}$.