Номер 100, страница 33 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

100*. Восьмигранник, все грани которого являются правильными треугольниками, и цилиндр расположены так, что две вершины восьмигранника являются центрами оснований цилиндра, а остальные лежат на цилиндрической поверхности (рис. 59). Найдите площадь осевого сечения цилиндра, учитывая, что его высота равна $h$.

Пусть данный правильный восьмигранник (октаэдр) имеет вершины $V_1$, $V_2$, $A$, $B$, $C$, $D$. Согласно условию задачи, две противоположные вершины октаэдра, назовем их $V_1$ и $V_2$, являются центрами оснований цилиндра. Остальные четыре вершины $A$, $B$, $C$, $D$ лежат на боковой (цилиндрической) поверхности.

Ось цилиндра проходит через вершины $V_1$ и $V_2$. Высота цилиндра $H$ равна расстоянию между его основаниями, то есть расстоянию между точками $V_1$ и $V_2$. По условию, эта высота равна $h$. Итак, $H = |V_1V_2| = h$.

Четыре вершины $A$, $B$, $C$, $D$ правильного октаэдра образуют квадрат, который лежит в плоскости, перпендикулярной отрезку $V_1V_2$ и проходящей через его середину. Обозначим центр этого квадрата (и середину отрезка $V_1V_2$) как точку $O$.

Поскольку вершины $A$, $B$, $C$, $D$ лежат на цилиндрической поверхности, расстояние от каждой из этих вершин до оси цилиндра (прямой $V_1V_2$) равно радиусу цилиндра $R$. Таким образом, $|OA| = |OB| = |OC| = |OD| = R$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle V_1OA$. Его катетом $|V_1O|$ является половина высоты цилиндра, так как $O$ — середина $V_1V_2$. Следовательно, $|V_1O| = \frac{h}{2}$. Другой катет, $|OA|$, — это радиус цилиндра $R$. Гипотенузой этого треугольника является отрезок $|V_1A|$, который соединяет вершину октаэдра $V_1$ с вершиной $A$. Этот отрезок является ребром октаэдра. Обозначим длину ребра октаэдра как $a$. Тогда $|V_1A| = a$.

По теореме Пифагора для треугольника $\triangle V_1OA$ имеем:

$|V_1A|^2 = |V_1O|^2 + |OA|^2$

$a^2 = (\frac{h}{2})^2 + R^2$

Теперь рассмотрим квадрат $ABCD$ в основании двух пирамид, образующих октаэдр. Стороны этого квадрата являются ребрами октаэдра, поэтому $|AB| = a$. Диагональ этого квадрата, например $AC$, соединяет две противоположные вершины квадрата. Длина диагонали $|AC|$ равна $|AO| + |OC| = R + R = 2R$.

В то же время, из теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника $\triangle ABC$ (где $\angle B = 90^\circ$):

$|AC|^2 = |AB|^2 + |BC|^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$

$|AC| = a\sqrt{2}$

Таким образом, мы получили два выражения для длины диагонали квадрата $AC$: $|AC| = 2R$ и $|AC| = a\sqrt{2}$. Приравнивая их, получаем:

$2R = a\sqrt{2}$, откуда $a = \frac{2R}{\sqrt{2}} = R\sqrt{2}$.

Теперь подставим это выражение для $a$ в первое уравнение, полученное из треугольника $\triangle V_1OA$:

$(R\sqrt{2})^2 = (\frac{h}{2})^2 + R^2$

$2R^2 = \frac{h^2}{4} + R^2$

$2R^2 - R^2 = \frac{h^2}{4}$

$R^2 = \frac{h^2}{4}$

$R = \frac{h}{2}$

Мы нашли радиус цилиндра. Теперь необходимо найти площадь осевого сечения цилиндра. Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник, сторонами которого являются высота цилиндра $h$ и его диаметр $D = 2R$.

Площадь осевого сечения $S_{сеч}$ вычисляется по формуле:

$S_{сеч} = h \cdot D = h \cdot (2R)$

Подставим найденное значение радиуса $R = \frac{h}{2}$:

$S_{сеч} = h \cdot (2 \cdot \frac{h}{2}) = h \cdot h = h^2$

Ответ: $h^2$.