Номер 107, страница 34 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

107. Есть правильная треугольная призма с боковым ребром $a$. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, вписанного в эту призму, учитывая, что отрезок, соединяющий середину бокового ребра с центром основания, составляет с основанием угол $\alpha$ (рис. 63).

Рис. 63

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле $S_{бок} = 2 \pi r H$, где $r$ – радиус основания цилиндра, а $H$ – его высота.

Поскольку цилиндр вписан в правильную треугольную призму, его высота $H$ равна высоте призмы, то есть длине бокового ребра. По условию, боковое ребро равно $a$. Таким образом, $H = a$.

Основание цилиндра представляет собой круг, вписанный в основание призмы, которое является правильным (равносторонним) треугольником. Следовательно, радиус основания цилиндра $r$ равен радиусу вписанной в этот треугольник окружности.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, указанный на рисунке. Он образован отрезком, соединяющим центр основания с точкой на середине высоты призмы, и его проекцией на это основание.

Один катет этого треугольника перпендикулярен основанию призмы. Его длина равна половине бокового ребра, так как он соединяет плоскость основания с точкой, находящейся на середине высоты. Длина этого катета равна $\frac{a}{2}$.

Второй катет лежит в плоскости основания. Судя по рисунку, он соединяет центр правильного треугольника (центр основания) с точкой касания вписанной окружности, то есть является радиусом вписанной окружности $r$.

Угол $\alpha$ в этом прямоугольном треугольнике является углом между гипотенузой (отрезком, соединяющим центр основания с серединой бокового ребра) и катетом, лежащим в плоскости основания (радиусом $r$).

Из соотношений в прямоугольном треугольнике имеем: $ \tan(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{a/2}{r} $

Выразим из этого уравнения радиус $r$: $ r = \frac{a/2}{\tan(\alpha)} = \frac{a}{2 \tan(\alpha)} $

Теперь мы можем найти площадь боковой поверхности цилиндра, подставив найденные значения $H$ и $r$ в исходную формулу: $ S_{бок} = 2 \pi r H = 2 \pi \cdot \left(\frac{a}{2 \tan(\alpha)}\right) \cdot a $

Упростив выражение, получаем: $ S_{бок} = \frac{2 \pi a^2}{2 \tan(\alpha)} = \frac{\pi a^2}{\tan(\alpha)} $

Используя тригонометрическое тождество $\cot(\alpha) = \frac{1}{\tan(\alpha)}$, можно записать ответ в другом виде: $S_{бок} = \pi a^2 \cot(\alpha)$.

Ответ: $ \frac{\pi a^2}{\tan(\alpha)} $