Номер 110, страница 34 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

110. Определите, около какой прямой призмы можно описать цилиндр,

если эта призма:

а) четырехугольная;

б) шестиугольная.

Цилиндр можно описать около прямой призмы тогда и только тогда, когда около основания этой призмы можно описать окружность. Это означает, что все вершины многоугольника, лежащего в основании призмы, должны лежать на одной окружности (такой многоугольник называется вписанным в окружность). Основаниями описанного цилиндра будут являться окружности, описанные около оснований призмы.

а) четырехугольная

Чтобы около прямой четырехугольной призмы можно было описать цилиндр, необходимо, чтобы около ее основания — четырехугольника — можно было описать окружность.

Окружность можно описать около четырехугольника тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна $180^\circ$. Если углы четырехугольника в основании равны $ \alpha, \beta, \gamma, \delta $ в порядке обхода, то должно выполняться условие: $ \alpha + \gamma = 180^\circ $ и $ \beta + \delta = 180^\circ $.

Примерами призм, удовлетворяющих этому условию, являются призмы, в основании которых лежит прямоугольник, квадрат или равнобокая трапеция.

Ответ: Цилиндр можно описать около прямой четырехугольной призмы, если ее основание — это четырехугольник, у которого сумма противоположных углов равна $180^\circ$.

б) шестиугольная

Чтобы около прямой шестиугольной призмы можно было описать цилиндр, необходимо, чтобы около ее основания — шестиугольника — можно было описать окружность. Это значит, что все шесть вершин шестиугольника должны лежать на одной окружности.

Для многоугольника с числом сторон больше четырех не существует простого общего критерия (подобного сумме углов для четырехугольника), который бы определил, можно ли вокруг него описать окружность. Однако, если призма правильная, то есть в ее основании лежит правильный шестиугольник (у которого все стороны и углы равны), то около такого основания всегда можно описать окружность.

Таким образом, условие заключается в том, что шестиугольник в основании должен быть вписанным в окружность.

Ответ: Цилиндр можно описать около прямой шестиугольной призмы, если около ее основания (шестиугольника) можно описать окружность, то есть все вершины основания лежат на одной окружности. Частным, но важным случаем является правильная шестиугольная призма.