Номер 112, страница 35 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

112. Докажите, что:

а) если прямая четырехугольная призма вписана в цилиндр, то сумма противолежащих двугранных углов при боковых ребрах равна $180^\circ$;

б) если четырехугольная прямая призма описана около цилиндра, то суммы площадей противоположных боковых граней равны.

а)

Пусть дана прямая четырехугольная призма $ABCDA'B'C'D'$, вписанная в цилиндр. Это означает, что основания призмы (четырехугольники $ABCD$ и $A'B'C'D'$) вписаны в окружности оснований цилиндра. Следовательно, все вершины основания, например, $A$, $B$, $C$, $D$, лежат на одной окружности. Четырехугольник, вершины которого лежат на одной окружности, называется вписанным в окружность или циклическим.

Двугранный угол при боковом ребре прямой призмы равен соответствующему внутреннему углу многоугольника в основании. Например, двугранный угол при ребре $BB'$ образован полуплоскостями, содержащими боковые грани $ABB'A'$ и $BCC'B'$. Так как призма прямая, ее боковые ребра перпендикулярны основанию. Значит, ребра основания $AB$ и $BC$, выходящие из вершины $B$, перпендикулярны боковому ребру $BB'$. Таким образом, угол $\angle ABC$ является линейным углом двугранного угла при ребре $BB'$.

Аналогично, двугранные углы при боковых ребрах $CC'$, $DD'$ и $AA'$ равны соответственно углам $\angle BCD$, $\angle CDA$ и $\angle DAB$ четырехугольника $ABCD$.

Рассмотрим противолежащие двугранные углы, например, при ребрах $BB'$ и $DD'$. Их величины равны $\angle ABC$ и $\angle CDA$. Так как четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность, сумма его противолежащих углов равна 180°. То есть:

$\angle ABC + \angle CDA = 180°$

Точно так же для другой пары противолежащих двугранных углов при ребрах $AA'$ и $CC'$:

$\angle DAB + \angle BCD = 180°$

Таким образом, доказано, что если прямая четырехугольная призма вписана в цилиндр, то сумма противолежащих двугранных углов при боковых ребрах равна 180°. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что сумма противолежащих двугранных углов при боковых ребрах равна 180°.

б)

Пусть дана прямая четырехугольная призма $ABCDA'B'C'D'$, описанная около цилиндра. Это означает, что боковые грани призмы касаются боковой поверхности цилиндра, а основания призмы описаны около окружностей оснований цилиндра. Таким образом, в основание призмы, четырехугольник $ABCD$, можно вписать окружность. Такой четырехугольник называется описанным или тангенциальным.

Пусть стороны основания призмы равны $AB=a$, $BC=b$, $CD=c$, $DA=d$. Высота призмы равна высоте цилиндра, обозначим ее $h$.

Боковые грани прямой призмы являются прямоугольниками. Площади противоположных боковых граней равны:

• $S_{ABB'A'} = a \cdot h$ и $S_{CDD'C'} = c \cdot h$
• $S_{BCC'B'} = b \cdot h$ и $S_{DAA'D'} = d \cdot h$

Найдем сумму площадей первой пары противоположных граней:

$S_{ABB'A'} + S_{CDD'C'} = a \cdot h + c \cdot h = (a + c) \cdot h$

Найдем сумму площадей второй пары противоположных граней:

$S_{BCC'B'} + S_{DAA'D'} = b \cdot h + d \cdot h = (b + d) \cdot h$

Для описанного четырехугольника справедлива теорема Пито: суммы длин противоположных сторон равны. Для четырехугольника $ABCD$ это означает:

$AB + CD = BC + DA$

или в наших обозначениях:

$a + c = b + d$

Подставляя это равенство в выражения для сумм площадей, получаем:

$(a + c) \cdot h = (b + d) \cdot h$

Следовательно,

$S_{ABB'A'} + S_{CDD'C'} = S_{BCC'B'} + S_{DAA'D'}$

Таким образом, доказано, что если прямая четырехугольная призма описана около цилиндра, то суммы площадей противоположных боковых граней равны. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что суммы площадей противоположных боковых граней равны.