Номер 118, страница 35 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

118. Найдите объем цилиндра, у которого площадь основания равна $Q$,
а площадь осевого сечения — $S$.

Пусть $r$ — радиус основания цилиндра, а $h$ — его высота.

Объем цилиндра $V$ вычисляется по формуле произведения площади основания на высоту. По условию, площадь основания равна $Q$, следовательно:

$V = Q \cdot h$

Наша задача — выразить высоту $h$ через заданные в условии величины $Q$ и $S$.

Площадь основания цилиндра (круга) с радиусом $r$ определяется формулой:

$Q = \pi r^2$

Из этой формулы мы можем выразить радиус $r$:

$r^2 = \frac{Q}{\pi} \Rightarrow r = \sqrt{\frac{Q}{\pi}}$

Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник со сторонами, равными диаметру основания ($2r$) и высоте цилиндра ($h$). Площадь этого сечения по условию равна $S$:

$S = 2r \cdot h$

Выразим из этой формулы высоту $h$:

$h = \frac{S}{2r}$

Теперь подставим в полученное выражение для $h$ ранее найденное выражение для радиуса $r$:

$h = \frac{S}{2\sqrt{\frac{Q}{\pi}}}$

Мы получили выражение для высоты через известные величины $S$ и $Q$. Подставим его в формулу для объема $V = Q \cdot h$:

$V = Q \cdot \frac{S}{2\sqrt{\frac{Q}{\pi}}}$

Упростим полученное выражение:

$V = \frac{Q \cdot S}{2 \frac{\sqrt{Q}}{\sqrt{\pi}}} = \frac{Q \cdot S \cdot \sqrt{\pi}}{2\sqrt{Q}}$

Так как $Q = (\sqrt{Q})^2$, мы можем сократить дробь на $\sqrt{Q}$:

$V = \frac{(\sqrt{Q})^2 \cdot S \cdot \sqrt{\pi}}{2\sqrt{Q}} = \frac{\sqrt{Q} \cdot S \cdot \sqrt{\pi}}{2}$

Объединяя множители под знаком корня, получаем окончательный результат:

$V = \frac{S \sqrt{Q\pi}}{2}$

Ответ: $V = \frac{S \sqrt{Q\pi}}{2}$