Номер 125, страница 36 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

125. Найдите объем цилиндра, вписанного в правильную шестиугольную призму, у которой каждое ребро равно $a$.

Для нахождения объема цилиндра используется формула $V = \pi r^2 h$, где $r$ – это радиус основания цилиндра, а $h$ – его высота.

Согласно условию, цилиндр вписан в правильную шестиугольную призму. Это означает, что:

• Высота цилиндра $h$ равна высоте призмы.
• Основание цилиндра (круг) вписано в основание призмы (правильный шестиугольник).

В задаче указано, что каждое ребро призмы равно $a$. Ребра призмы включают в себя стороны оснований и боковые ребра. Высота правильной призмы равна ее боковому ребру. Таким образом, высота цилиндра $h = a$.

Теперь найдем радиус основания цилиндра $r$. Радиус круга, вписанного в правильный шестиугольник, равен апофеме этого шестиугольника. Сторона шестиугольника по условию равна $a$. Правильный шестиугольник состоит из шести равносторонних треугольников со стороной $a$. Апофема шестиугольника является высотой одного из этих треугольников.

Высоту равностороннего треугольника со стороной $a$ можно найти по теореме Пифагора. Она равна:$r = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Теперь, когда у нас есть и радиус $r$, и высота $h$, мы можем вычислить объем цилиндра, подставив эти значения в формулу:$V = \pi r^2 h = \pi \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 \cdot a$

Выполним вычисления:$V = \pi \cdot \frac{a^2 \cdot (\sqrt{3})^2}{2^2} \cdot a = \pi \cdot \frac{3a^2}{4} \cdot a = \frac{3\pi a^3}{4}$

Ответ: $V = \frac{3\pi a^3}{4}$