Номер 120, страница 35 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

120. Определите, во сколько раз нужно увеличить:

а) высоту цилиндра без изменения его основания, чтобы объем увеличился в $n$ раз;

б) радиус основания цилиндра без изменения его высоты, чтобы объем увеличился в $n$ раз.

а) Объем цилиндра вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота. В данном случае основание не меняется, значит, его площадь $S_{осн}$ — постоянная величина.
Пусть начальный объем цилиндра равен $V_1 = S_{осн} \cdot h_1$.
Чтобы объем увеличился в $n$ раз, новый объем $V_2$ должен быть равен $n \cdot V_1$.
Новый объем при новой высоте $h_2$ и том же основании будет $V_2 = S_{осн} \cdot h_2$.
Приравняем выражения для нового объема $V_2$:
$S_{осн} \cdot h_2 = n \cdot V_1$
Подставим в это равенство выражение для $V_1$:
$S_{осн} \cdot h_2 = n \cdot (S_{осн} \cdot h_1)$
Поскольку площадь основания $S_{осн}$ не равна нулю, мы можем разделить обе части уравнения на $S_{осн}$:
$h_2 = n \cdot h_1$
Это соотношение показывает, что новая высота $h_2$ должна быть в $n$ раз больше начальной высоты $h_1$. Следовательно, высоту нужно увеличить в $n$ раз.
Ответ: в $n$ раз.

б) Формула объема цилиндра через радиус основания $R$ и высоту $h$ выглядит так: $V = \pi R^2 h$. В этом случае высота $h$ является постоянной величиной, а радиус основания меняется.
Пусть начальный объем цилиндра при радиусе $R_1$ равен $V_1 = \pi R_1^2 h$.
Требуется, чтобы новый объем $V_2$ стал в $n$ раз больше начального, то есть $V_2 = n \cdot V_1$.
Новый объем при новом радиусе $R_2$ и той же высоте будет $V_2 = \pi R_2^2 h$.
Приравняем выражения для нового объема $V_2$:
$\pi R_2^2 h = n \cdot V_1$
Подставим в это равенство выражение для $V_1$:
$\pi R_2^2 h = n \cdot (\pi R_1^2 h)$
Поскольку $\pi$ и высота $h$ не равны нулю, мы можем разделить обе части уравнения на $\pi h$:
$R_2^2 = n \cdot R_1^2$
Извлечем квадратный корень из обеих частей (так как радиус является положительной величиной):
$R_2 = \sqrt{n} \cdot R_1$
Это соотношение показывает, что новый радиус $R_2$ должен быть в $\sqrt{n}$ раз больше начального радиуса $R_1$. Следовательно, радиус основания нужно увеличить в $\sqrt{n}$ раз.
Ответ: в $\sqrt{n}$ раз.