Номер 122, страница 35 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

122*. В цилиндр вписана призма, основанием которой является прямоугольный треугольник с катетом $a$ и прилежащим к нему углом $\alpha$. Найдите объем цилиндра, учитывая, что высота призмы равна $h$.

Объем цилиндра вычисляется по формуле $V = \pi R^2 H$, где $R$ — это радиус основания, а $H$ — высота цилиндра.

Поскольку призма вписана в цилиндр, их высоты равны, то есть высота цилиндра $H = h$. Основание призмы, которым является прямоугольный треугольник, вписано в основание цилиндра (круг).

Ключевым свойством является то, что центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, находится на середине его гипотенузы. Следовательно, радиус этой окружности (а значит и радиус основания цилиндра $R$) равен половине гипотенузы $c$.

$R = \frac{c}{2}$

Найдем гипотенузу $c$ из данных о прямоугольном треугольнике. Нам известен катет $a$ и прилежащий к нему острый угол $\alpha$. По определению косинуса в прямоугольном треугольнике:

$\cos(\alpha) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{a}{c}$

Из этого соотношения выражаем гипотенузу:

$c = \frac{a}{\cos(\alpha)}$

Теперь мы можем определить радиус основания цилиндра:

$R = \frac{c}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{\cos(\alpha)} = \frac{a}{2\cos(\alpha)}$

Наконец, подставляем найденные значения радиуса $R$ и высоты $H=h$ в формулу для объема цилиндра:

$V = \pi R^2 H = \pi \left(\frac{a}{2\cos(\alpha)}\right)^2 h = \pi \frac{a^2}{4\cos^2(\alpha)} h$

Ответ: $V = \frac{\pi a^2 h}{4\cos^2(\alpha)}$