Номер 121, страница 35 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

121*. Докажите, что полная поверхность цилиндра равна боковой поверхности другого цилиндра того же радиуса, высота которого равна сумме радиуса и высоты данного цилиндра.

Для доказательства введем обозначения для двух цилиндров, о которых говорится в задаче.

1. Первый (данный) цилиндр:
Пусть его радиус основания равен $r$, а высота равна $h$.
Площадь полной поверхности цилиндра ($S_{полн}$) вычисляется как сумма площади его боковой поверхности ($S_{бок}$) и площадей двух его оснований ($2S_{осн}$).
Площадь боковой поверхности: $S_{бок1} = 2\pi rh$.
Площадь одного основания (круга): $S_{осн} = \pi r^2$.
Таким образом, площадь полной поверхности первого цилиндра:
$S_{полн1} = S_{бок1} + 2S_{осн} = 2\pi rh + 2\pi r^2$.
Вынеся общий множитель $2\pi r$ за скобки, получаем:
$S_{полн1} = 2\pi r(h + r)$.

2. Второй цилиндр:
Согласно условию, его радиус основания такой же, как у первого, то есть $r$.
Его высота, обозначим ее $h'$, равна сумме радиуса и высоты первого цилиндра: $h' = r + h$.
Найдем площадь боковой поверхности этого второго цилиндра ($S_{бок2}$):
$S_{бок2} = 2\pi r h'$.
Подставим в формулу выражение для высоты $h'$:
$S_{бок2} = 2\pi r(r + h)$.

3. Сравнение площадей:
Сравним полученное выражение для площади полной поверхности первого цилиндра и площади боковой поверхности второго цилиндра:
$S_{полн1} = 2\pi r(h + r)$
$S_{бок2} = 2\pi r(r + h)$
Так как от перемены мест слагаемых сумма не меняется ($h + r = r + h$), очевидно, что $S_{полн1} = S_{бок2}$.

Ответ: Утверждение доказано. Мы показали, что площадь полной поверхности первого цилиндра $S_{полн1} = 2\pi r(h+r)$ равна площади боковой поверхности второго цилиндра $S_{бок2} = 2\pi r(r+h)$.