Номер 127, страница 36 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

127*. Цилиндр вписан в прямой параллелепипед, основанием которого является ромб с меньшей диагональю $m$ и большим углом $\alpha$. Сечение, проведенное через меньшую диагональ одного основания и конец большей диагонали другого, составляет с основанием угол в $45^\circ$. Найдите объем цилиндра.

Пусть дан прямой параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$, в основании которого лежит ромб $ABCD$. В этот параллелепипед вписан цилиндр. Высота цилиндра $H$ равна высоте параллелепипеда ($H = AA_1$), а основание цилиндра — это окружность, вписанная в ромб $ABCD$.

По условию, меньшая диагональ ромба равна $m$, а больший угол равен $\alpha$. Пусть $AC = m$ и $\angle ABC = \alpha$. Диагонали ромба пересекаются в точке $O$ под прямым углом и делятся точкой пересечения пополам. Следовательно, в прямоугольном треугольнике $AOB$ катет $AO = \frac{AC}{2} = \frac{m}{2}$. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов, поэтому $\angle ABO = \frac{\alpha}{2}$.

Из прямоугольного треугольника $AOB$ найдем половину второй диагонали, $BO$:$BO = AO \cdot \cot(\angle ABO) = \frac{m}{2} \cot\left(\frac{\alpha}{2}\right)$. Тогда большая диагональ ромба $BD = 2 \cdot BO = m \cot\left(\frac{\alpha}{2}\right)$.

Радиус $r$ основания цилиндра равен радиусу окружности, вписанной в ромб. Этот радиус равен длине перпендикуляра, опущенного из центра ромба $O$ на его сторону, например, на сторону $AB$. Найдем этот радиус $r$. Сумма углов ромба, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$, поэтому $\angle DAB = 180^\circ - \alpha$. Диагональ $AC$ делит этот угол пополам, так что $\angle OAB = \frac{180^\circ - \alpha}{2} = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}$. В прямоугольном треугольнике $AOK$ (где $OK \perp AB$), радиус $r=OK$ является катетом.$r = AO \cdot \sin(\angle OAB) = \frac{m}{2} \sin\left(90^\circ - \frac{\alpha}{2}\right) = \frac{m}{2} \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)$.

Теперь найдем высоту цилиндра $H$, которая равна высоте параллелепипеда $H = DD_1$. По условию, сечение, проведенное через меньшую диагональ одного основания ($AC$) и конец большей диагонали другого (пусть это будет точка $D_1$), составляет с основанием угол в $45^\circ$. Это сечение — треугольник $ACD_1$. Угол между плоскостью сечения $ACD_1$ и плоскостью основания $ABCD$ — это двугранный угол при ребре $AC$. Для его измерения построим линейный угол. В плоскости основания проведем $DO \perp AC$ (так как диагонали ромба перпендикулярны). $DD_1$ перпендикулярна плоскости основания, а значит и прямой $DO$. Таким образом, треугольник $D_1OD$ — прямоугольный. $D_1O$ — наклонная к плоскости основания, а $DO$ — ее проекция. По теореме о трех перпендикулярах, так как $DO \perp AC$, то и наклонная $D_1O \perp AC$. Следовательно, угол $\angle D_1OD$ является линейным углом двугранного угла между плоскостью сечения и плоскостью основания. По условию, $\angle D_1OD = 45^\circ$.

В прямоугольном треугольнике $D_1OD$:$H = DD_1 = DO \cdot \tan(\angle D_1OD)$. Мы знаем, что $DO$ — это половина большей диагонали ромба: $DO = \frac{BD}{2} = \frac{m}{2} \cot\left(\frac{\alpha}{2}\right)$. Так как $\tan(45^\circ) = 1$, получаем:$H = DO \cdot 1 = \frac{m}{2} \cot\left(\frac{\alpha}{2}\right)$.

Наконец, найдем объем цилиндра $V$ по формуле $V = \pi r^2 H$:$V = \pi \left(\frac{m}{2} \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right)^2 \cdot \left(\frac{m}{2} \cot\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right)$$V = \pi \cdot \frac{m^2}{4} \cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) \cdot \frac{m}{2} \frac{\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)}$$V = \frac{\pi m^3}{8} \frac{\cos^3\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)}$Это выражение можно также записать как $V = \frac{\pi m^3}{8} \cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) \cot\left(\frac{\alpha}{2}\right)$.

Ответ: $V = \frac{\pi m^3 \cos^3(\alpha/2)}{8 \sin(\alpha/2)}$.