Номер 126, страница 36 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

126. В цилиндр вписана правильная $n$-угольная призма. Найдите отношение объемов призмы и цилиндра, учитывая, что:

Рис. 64

а) $n = 3$;

б) $n = 4$;

в) $n = 6$;

г) $n = 8$;

д) $n$ — натуральное число.

Обозначим объем призмы как $V_п$, а объем цилиндра — $V_ц$. Поскольку правильная $n$-угольная призма вписана в цилиндр, их высоты $h$ совпадают, а основание призмы (правильный $n$-угольник) вписано в основание цилиндра (круг).

Объем цилиндра вычисляется по формуле $V_ц = S_ц \cdot h$, где $S_ц$ — площадь круга в основании. Если радиус основания равен $R$, то $S_ц = \pi R^2$. Таким образом, $V_ц = \pi R^2 h$.

Объем призмы вычисляется по формуле $V_п = S_п \cdot h$, где $S_п$ — площадь правильного $n$-угольника в основании.

Площадь правильного $n$-угольника, вписанного в круг радиуса $R$, можно найти, разбив его на $n$ одинаковых равнобедренных треугольников с вершиной в центре круга. Угол при вершине каждого такого треугольника равен $\frac{2\pi}{n}$ радиан, а боковые стороны равны $R$. Площадь одного треугольника равна $\frac{1}{2}R^2 \sin(\frac{2\pi}{n})$, а площадь всего $n$-угольника: $S_п = \frac{n}{2}R^2 \sin(\frac{2\pi}{n})$.

Искомое отношение объемов равно отношению площадей их оснований, так как высоты сокращаются:

$\frac{V_п}{V_ц} = \frac{S_п \cdot h}{S_ц \cdot h} = \frac{S_п}{S_ц} = \frac{\frac{n}{2}R^2 \sin(\frac{2\pi}{n})}{\pi R^2} = \frac{n \sin(\frac{2\pi}{n})}{2\pi}$.

Используем эту общую формулу для решения каждого пункта задачи.

а) n = 3

В этом случае призма является правильной треугольной. Подставляем $n = 3$ в общую формулу:

$\frac{V_п}{V_ц} = \frac{3 \sin(\frac{2\pi}{3})}{2\pi}$.

Поскольку $\sin(\frac{2\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$\frac{V_п}{V_ц} = \frac{3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{2\pi} = \frac{3\sqrt{3}}{4\pi}$.

Ответ: $\frac{3\sqrt{3}}{4\pi}$.

б) n = 4

В этом случае призма является правильной четырехугольной (в основании квадрат). Подставляем $n = 4$ в общую формулу:

$\frac{V_п}{V_ц} = \frac{4 \sin(\frac{2\pi}{4})}{2\pi} = \frac{4 \sin(\frac{\pi}{2})}{2\pi}$.

Поскольку $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$, получаем:

$\frac{V_п}{V_ц} = \frac{4 \cdot 1}{2\pi} = \frac{2}{\pi}$.

Ответ: $\frac{2}{\pi}$.

в) n = 6

В этом случае призма является правильной шестиугольной. Подставляем $n = 6$ в общую формулу:

$\frac{V_п}{V_ц} = \frac{6 \sin(\frac{2\pi}{6})}{2\pi} = \frac{6 \sin(\frac{\pi}{3})}{2\pi}$.

Поскольку $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$\frac{V_п}{V_ц} = \frac{6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{2\pi} = \frac{3\sqrt{3}}{2\pi}$.

Ответ: $\frac{3\sqrt{3}}{2\pi}$.

г) n = 8

В этом случае призма является правильной восьмиугольной. Подставляем $n = 8$ в общую формулу:

$\frac{V_п}{V_ц} = \frac{8 \sin(\frac{2\pi}{8})}{2\pi} = \frac{8 \sin(\frac{\pi}{4})}{2\pi}$.

Поскольку $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:

$\frac{V_п}{V_ц} = \frac{8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{2\pi} = \frac{4\sqrt{2}}{2\pi} = \frac{2\sqrt{2}}{\pi}$.

Ответ: $\frac{2\sqrt{2}}{\pi}$.

д) n — натуральное число

Для произвольного натурального числа $n$, как было показано в общем решении, отношение объема вписанной правильной $n$-угольной призмы к объему цилиндра выражается формулой, зависящей от $n$:

$\frac{V_п}{V_ц} = \frac{n \sin(\frac{2\pi}{n})}{2\pi}$.

Ответ: $\frac{n \sin(\frac{2\pi}{n})}{2\pi}$.