Номер 123, страница 35 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

123*. Найдите объем цилиндра, учитывая, что диагональ вписанного в него прямоугольного параллелепипеда равна $m$ и составляет с основанием угол $\alpha$.

Объем цилиндра вычисляется по формуле $V = \pi R^2 h$, где $R$ — радиус основания, а $h$ — высота цилиндра.

По условию, в цилиндр вписан прямоугольный параллелепипед. Это означает, что высота параллелепипеда равна высоте цилиндра $h$, а основание параллелепипеда (прямоугольник) вписано в основание цилиндра (круг). Диагональ $d$ прямоугольника, вписанного в круг, является диаметром этого круга. Следовательно, $d = 2R$.

Диагональ параллелепипеда $m$, его высота $h$ и диагональ его основания $d$ образуют прямоугольный треугольник. Угол $\alpha$ — это угол между гипотенузой $m$ (диагональю параллелепипеда) и катетом $d$ (проекцией диагонали на плоскость основания). Катет $h$ является противолежащим этому углу.

Из определения синуса и косинуса в этом прямоугольном треугольнике имеем:
$h = m \cdot \sin \alpha$
$d = m \cdot \cos \alpha$

Теперь найдем радиус основания цилиндра $R$. Так как $d = 2R$:
$2R = m \cos \alpha$
$R = \frac{m \cos \alpha}{2}$

Подставим найденные выражения для $h$ и $R$ в формулу объема цилиндра:
$V = \pi R^2 h = \pi \left(\frac{m \cos \alpha}{2}\right)^2 \cdot (m \sin \alpha)$
$V = \pi \cdot \frac{m^2 \cos^2 \alpha}{4} \cdot m \sin \alpha$
$V = \frac{\pi m^3 \sin \alpha \cos^2 \alpha}{4}$

Ответ: $V = \frac{\pi m^3 \sin \alpha \cos^2 \alpha}{4}$