Номер 117, страница 35 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

117. Найдите боковую поверхность и объем цилиндра, диаметр основания которого равен 1 м, а высота равна длине окружности основания.

Для решения задачи воспользуемся стандартными формулами для цилиндра и данными из условия.

Дано:

• Диаметр основания цилиндра, $d = 1$ м.
• Высота цилиндра, $h$, равна длине окружности основания, $C$.

Шаг 1: Нахождение радиуса, длины окружности основания и высоты.

1. Радиус основания $r$ равен половине диаметра:

$r = \frac{d}{2} = \frac{1 \text{ м}}{2} = 0.5$ м.

2. Длина окружности основания $C$ вычисляется по формуле $C = \pi d$:

$C = \pi \cdot 1 \text{ м} = \pi$ м.

3. По условию, высота цилиндра $h$ равна длине окружности основания:

$h = C = \pi$ м.

Теперь, имея все необходимые параметры ($r = 0.5$ м, $h = \pi$ м), можем приступить к вычислению боковой поверхности и объема.

Боковая поверхность

Площадь боковой поверхности цилиндра ($S_{бок}$) вычисляется по формуле, представляющей собой произведение длины окружности основания на высоту:

$S_{бок} = C \cdot h$

Подставляем найденные значения $C$ и $h$:

$S_{бок} = \pi \cdot \pi = \pi^2$ м².

Также можно использовать формулу $S_{бок} = 2 \pi r h$:

$S_{бок} = 2 \pi \cdot 0.5 \cdot \pi = \pi^2$ м².

Ответ: $\pi^2$ м².

Объем

Объем цилиндра ($V$) вычисляется как произведение площади основания ($S_{осн}$) на высоту ($h$). Площадь основания (круга) равна $S_{осн} = \pi r^2$.

Формула для объема: $V = \pi r^2 h$.

Подставляем известные значения $r$ и $h$:

$V = \pi \cdot (0.5)^2 \cdot \pi = \pi \cdot 0.25 \cdot \pi = 0.25\pi^2$ м³.

Результат можно также представить в виде обыкновенной дроби:

$V = \frac{1}{4}\pi^2$ м³.

Ответ: $0.25\pi^2$ м³ (или $\frac{\pi^2}{4}$ м³).