Номер 114, страница 35 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

114. Найдите объем цилиндра, осевым сечением которого является квадрат с диагональю 30 см.

114.

Для нахождения объема цилиндра используется формула: $V = \pi R^2 H$, где $R$ – это радиус основания цилиндра, а $H$ – его высота.

Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник, сторонами которого являются высота цилиндра $H$ и диаметр его основания $D$. По условию, это сечение является квадратом, следовательно, его стороны равны: $H = D$.

Диаметр основания связан с радиусом соотношением $D = 2R$. Таким образом, мы получаем, что высота цилиндра равна двум радиусам его основания: $H = 2R$.

Дана диагональ этого квадрата $d = 30$ см. Связь между стороной квадрата (обозначим ее как $a$, где $a = H = D$) и его диагональю $d$ выражается через теорему Пифагора: $a^2 + a^2 = d^2$, или $2a^2 = d^2$.

Подставим наши обозначения ($a=H$): $2H^2 = d^2$.

Теперь подставим известное значение диагонали $d=30$ см и найдем высоту $H$: $2H^2 = 30^2$ $2H^2 = 900$ $H^2 = 450$ $H = \sqrt{450} = \sqrt{225 \cdot 2} = 15\sqrt{2}$ см.

Так как $D = H$, то диаметр основания также равен $D = 15\sqrt{2}$ см. Найдем радиус основания $R$: $R = \frac{D}{2} = \frac{15\sqrt{2}}{2}$ см.

Теперь мы можем вычислить объем цилиндра, подставив найденные значения $R$ и $H$ в формулу объема: $V = \pi R^2 H = \pi \left(\frac{15\sqrt{2}}{2}\right)^2 \cdot (15\sqrt{2})$ $V = \pi \cdot \frac{15^2 \cdot (\sqrt{2})^2}{2^2} \cdot 15\sqrt{2}$ $V = \pi \cdot \frac{225 \cdot 2}{4} \cdot 15\sqrt{2}$ $V = \pi \cdot \frac{450}{4} \cdot 15\sqrt{2}$ $V = \pi \cdot \frac{225}{2} \cdot 15\sqrt{2}$ $V = \frac{225 \cdot 15 \sqrt{2}}{2}\pi$ $V = \frac{3375\sqrt{2}}{2}\pi$ см³.

Ответ: $\frac{3375\sqrt{2}}{2}\pi$ см³.