Номер 113, страница 35 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

113. Учитывая, что $V$, $r$ и $h$ — соответственно объем, радиус и высота цилиндра, найдите:

а) $V$, если $r = 3\sqrt{2}$ см, $h = 6$ см;

б) $r$, если $V = 120$ см³, $h = 3,6$ см;

в) $h$, если $r = h$, $V = 27\pi$ см³.

Для решения всех пунктов задачи используется формула объема цилиндра: $V = \pi r^2 h$, где $V$ — объем, $r$ — радиус основания, а $h$ — высота.

а) Найти $V$, если $r = 3\sqrt{2}$ см, $h = 6$ см.

Подставляем данные значения радиуса и высоты в формулу объема:

$V = \pi \cdot (3\sqrt{2})^2 \cdot 6$

Вычисляем квадрат радиуса:

$r^2 = (3\sqrt{2})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18$ см$^2$.

Теперь находим объем:

$V = \pi \cdot 18 \cdot 6 = 108\pi$ см$^3$.

Ответ: $V = 108\pi$ см$^3$.

б) Найти $r$, если $V = 120$ см$^3$, $h = 3,6$ см.

Из формулы объема $V = \pi r^2 h$ выражаем радиус $r$.

Сначала выразим $r^2$:

$r^2 = \frac{V}{\pi h}$

Затем извлечем квадратный корень, чтобы найти $r$:

$r = \sqrt{\frac{V}{\pi h}}$

Подставим известные значения $V$ и $h$:

$r = \sqrt{\frac{120}{\pi \cdot 3,6}}$

Упростим выражение под корнем, разделив 120 на 3,6:

$\frac{120}{3,6} = \frac{1200}{36} = \frac{100 \cdot 12}{3 \cdot 12} = \frac{100}{3}$

Таким образом, радиус равен:

$r = \sqrt{\frac{100}{3\pi}} = \frac{\sqrt{100}}{\sqrt{3\pi}} = \frac{10}{\sqrt{3\pi}}$ см.

Ответ: $r = \frac{10}{\sqrt{3\pi}}$ см.

в) Найти $h$, если $r = h$, $V = 27\pi$ см$^3$.

В условии сказано, что радиус равен высоте ($r = h$). Заменим $r$ на $h$ в формуле объема:

$V = \pi r^2 h = \pi h^2 \cdot h = \pi h^3$

Теперь подставим известное значение объема $V = 27\pi$ в полученную формулу:

$27\pi = \pi h^3$

Разделим обе части уравнения на $\pi$:

$h^3 = 27$

Чтобы найти $h$, необходимо извлечь кубический корень из 27:

$h = \sqrt[3]{27} = 3$ см.

Ответ: $h = 3$ см.