Номер 124, страница 36 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

124. В цилиндр вписана правильная треугольная призма, а в призму вписан цилиндр (рис. 64). Найдите отношение объемов цилиндров.

Рис. 64

Пусть $V_1$ и $R_1$ — объем и радиус основания внешнего цилиндра (в который вписана призма), а $V_2$ и $R_2$ — объем и радиус основания внутреннего цилиндра (который вписан в призму). Так как призма правильная, ее основаниями являются два равных равносторонних треугольника. Высота призмы, а также высоты обоих цилиндров, одинаковы. Обозначим эту высоту как $h$.

Объем цилиндра вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h = \pi R^2 h$, где $R$ — радиус основания. Тогда объемы цилиндров равны:
$V_1 = \pi R_1^2 h$
$V_2 = \pi R_2^2 h$

Найдем отношение объемов этих цилиндров: $$ \frac{V_1}{V_2} = \frac{\pi R_1^2 h}{\pi R_2^2 h} = \frac{R_1^2}{R_2^2} = \left(\frac{R_1}{R_2}\right)^2 $$ Задача сводится к нахождению отношения радиусов оснований цилиндров.

Основание внешнего цилиндра — это круг, описанный около равностороннего треугольника, который является основанием призмы. Следовательно, радиус $R_1$ равен радиусу окружности, описанной около этого треугольника.

Основание внутреннего цилиндра — это круг, вписанный в тот же равносторонний треугольник. Следовательно, радиус $R_2$ равен радиусу окружности, вписанной в этот треугольник.

Для любого правильного треугольника центр вписанной и описанной окружностей совпадает и находится в точке пересечения медиан, биссектрис и высот. Известно, что медианы в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины. Радиус описанной окружности $R_1$ — это расстояние от центра до вершины треугольника, а радиус вписанной окружности $R_2$ — это расстояние от центра до стороны треугольника (длина перпендикуляра). Эти два отрезка являются частями одной и той же медианы (высоты, биссектрисы). Таким образом, радиус описанной окружности в два раза больше радиуса вписанной окружности: $$ R_1 = 2R_2 $$ Следовательно, отношение радиусов $\frac{R_1}{R_2} = 2$.

Подставим найденное отношение радиусов в формулу для отношения объемов: $$ \frac{V_1}{V_2} = \left(\frac{R_1}{R_2}\right)^2 = 2^2 = 4 $$ Отношение объема внешнего цилиндра к объему внутреннего равно 4.

Ответ: 4