Номер 103, страница 33 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

103. Докажите, что если плоскость параллельна оси цилиндра и отстоит от нее на радиус цилиндра, то она содержит образующую цилиндра, и притом только одну, т. е. является касательной плоскостью цилиндра.

Правообладатель Белорусская Энциклопедия имени Петруся Бровки

Пусть дан цилиндр с осью $l$ и радиусом $R$. Пусть плоскость $\alpha$ параллельна оси $l$ (то есть $l \parallel \alpha$) и расстояние от оси до плоскости равно радиусу цилиндра, то есть $d(l, \alpha) = R$.

Нам необходимо доказать, что плоскость $\alpha$ содержит ровно одну образующую цилиндра и, следовательно, является его касательной плоскостью.

Выполним доказательство по шагам:

1. Построение вспомогательной плоскости.

   Выберем на оси $l$ произвольную точку $O$ и проведем через нее плоскость $\beta$, перпендикулярную оси $l$ ($l \perp \beta$). Эта плоскость пересечет цилиндр по окружности $\omega$ с центром в точке $O$ и радиусом $R$.

2. Анализ пересечения плоскостей.

   Поскольку плоскость $\alpha$ параллельна оси $l$, а плоскость $\beta$ перпендикулярна оси $l$, то плоскости $\alpha$ и $\beta$ перпендикулярны друг другу ($\alpha \perp \beta$). Так как они не параллельны, они пересекаются по некоторой прямой. Обозначим эту прямую как $m$. Таким образом, $m = \alpha \cap \beta$.

3. Определение расстояния в плоскости $\beta$.

   Расстояние от прямой до параллельной ей плоскости есть длина перпендикуляра, опущенного из любой точки прямой на эту плоскость. Возьмем точку $O$ на оси $l$ и опустим из нее перпендикуляр $OK$ на плоскость $\alpha$, где $K \in \alpha$. По условию задачи, длина этого перпендикуляра $|OK| = R$.

   Поскольку $O \in \beta$ и $\alpha \perp \beta$, то основание перпендикуляра, точка $K$, также должна лежать в плоскости $\beta$. Так как $K$ по построению лежит и в плоскости $\alpha$, то точка $K$ принадлежит линии их пересечения, то есть $K \in m$.

   Так как отрезок $OK$ перпендикулярен плоскости $\alpha$, он перпендикулярен и любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $K$. В частности, $OK \perp m$. Это означает, что $|OK|$ является расстоянием от точки $O$ до прямой $m$ в плоскости $\beta$. Следовательно, $d(O, m) = R$.

4. Взаимное расположение окружности и прямой в плоскости $\beta$.

   В плоскости $\beta$ мы имеем окружность $\omega$ с центром в $O$ и радиусом $R$, и прямую $m$, расстояние от которой до центра окружности также равно $R$. Из планиметрии известно, что если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу, то эта прямая является касательной к окружности и имеет с ней ровно одну общую точку. Обозначим эту точку касания как $T$.

5. Существование образующей в плоскости $\alpha$.

   Рассмотрим образующую цилиндра, проходящую через точку $T$. Обозначим ее $g$. По определению, образующая $g$ параллельна оси цилиндра $l$ ($g \parallel l$).

   Докажем, что вся образующая $g$ лежит в плоскости $\alpha$. Мы знаем, что точка $T$ принадлежит плоскости $\alpha$, так как $T$ лежит на прямой $m$, а прямая $m$ полностью лежит в $\alpha$. Также мы знаем, что $g \parallel l$ и $l \parallel \alpha$. Если одна из двух параллельных прямых ($l$) параллельна плоскости ($\alpha$), то и вторая прямая ($g$) либо параллельна этой плоскости, либо лежит в ней. Поскольку прямая $g$ имеет с плоскостью $\alpha$ общую точку $T$, она не может быть ей параллельна (в случае, когда нет общих точек). Следовательно, прямая $g$ целиком лежит в плоскости $\alpha$.

6. Единственность образующей.

   Докажем, что $g$ — единственная образующая цилиндра, лежащая в плоскости $\alpha$. Предположим, что существует другая образующая $g'$, лежащая в $\alpha$. Тогда $g'$ также должна пересекать плоскость $\beta$. Точка их пересечения $T'$ должна, с одной стороны, лежать на окружности $\omega$ (так как $g'$ — образующая), а с другой стороны, лежать на прямой $m$ (так как $g' \subset \alpha$ и $m = \alpha \cap \beta$). Таким образом, точка $T'$ является общей точкой окружности $\omega$ и прямой $m$. Но мы уже установили, что такая точка только одна — это $T$. Значит, $T' = T$, и, следовательно, образующие $g'$ и $g$ совпадают.

Таким образом, мы доказали, что плоскость $\alpha$ содержит ровно одну образующую цилиндра. По определению, плоскость, имеющая с цилиндром ровно одну общую образующую, является касательной плоскостью к цилиндру.

Ответ: Утверждение доказано. Если плоскость параллельна оси цилиндра и отстоит от нее на расстояние, равное радиусу цилиндра, то она содержит ровно одну образующую этого цилиндра, а значит, является его касательной плоскостью.