Номер 101, страница 33 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

101. Учитывая, что точка $M$ является точкой образующей $TT_1$ цилиндра с осью $OO_1$, точка $M_1$ — проекцией точки $M$ на эту ось, прямая $a$ касается окружности основания с центром $O$, а прямая $b$ касается цилиндра в точке $M$ (рис. 60), укажите, какой может быть величина угла между:

а) плоскостью $TT_1O$ и прямой $a$;

б) плоскостью $TT_1O$ и прямой $b$;

в) прямыми $TT_1$ и $TO$;

г) прямыми $TT_1$ и $MM_1$.

а) Угол между плоскостью $TT_1O$ и прямой $a$
Плоскость $TT_1O$ является осевой плоскостью цилиндра, так как проходит через образующую $TT_1$ и центр основания $O$. Следовательно, эта плоскость содержит ось $OO_1$ и перпендикулярна плоскости основания, в которой лежит прямая $a$. Угол между прямой $a$ и плоскостью $TT_1O$ зависит от положения точки касания прямой $a$ с окружностью основания. Пусть $K$ — точка касания. Если $K$ совпадает с $T$, то касательная $a$ перпендикулярна радиусу $OT$ и образующей $TT_1$. Так как $OT$ и $TT_1$ — пересекающиеся прямые в плоскости $TT_1O$, то прямая $a$ перпендикулярна всей плоскости $TT_1O$, и угол равен $90^\circ$. Если точка касания $K$ такова, что радиус $OK$ перпендикулярен радиусу $OT$, то прямая $a$ будет параллельна прямой $OT$, а значит и плоскости $TT_1O$. В этом случае угол равен $0^\circ$. Поскольку точка касания может быть любой точкой окружности, угол может принимать любое значение в диапазоне от $0^\circ$ до $90^\circ$.
Ответ: Любой угол от $0^\circ$ до $90^\circ$ включительно.

б) Угол между плоскостью $TT_1O$ и прямой $b$
Прямая $b$ касается цилиндра в точке $M$ на образующей $TT_1$, а значит, $b$ лежит в касательной плоскости к цилиндру, проведенной через образующую $TT_1$. Эта касательная плоскость перпендикулярна осевой плоскости $TT_1O$. Их линия пересечения — прямая $TT_1$. Прямая $b$ лежит в касательной плоскости и проходит через точку $M$ на линии пересечения $TT_1$. Угол между прямой $b$ и плоскостью $TT_1O$ зависит от направления прямой $b$. Если прямая $b$ совпадает с образующей $TT_1$, то она лежит в плоскости $TT_1O$, и угол равен $0^\circ$. Если прямая $b$ в касательной плоскости перпендикулярна образующей $TT_1$, то она будет перпендикулярна и всей плоскости $TT_1O$. В этом случае угол равен $90^\circ$. Так как прямая $b$ может иметь любое направление в касательной плоскости, проходя через точку $M$, искомый угол может принимать любое значение из промежутка от $0^\circ$ до $90^\circ$.
Ответ: Любой угол от $0^\circ$ до $90^\circ$ включительно.

в) Угол между прямыми $TT_1$ и $TO$
Прямая $TT_1$ является образующей прямого кругового цилиндра, поэтому она перпендикулярна плоскости основания. Прямая $TO$ является радиусом и лежит в плоскости основания. По определению перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $TT_1$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости основания и проходящей через точку $T$. Следовательно, $TT_1 \perp TO$.
Ответ: $90^\circ$.

г) Угол между прямыми $TT_1$ и $MM_1$
Образующая $TT_1$ параллельна оси цилиндра $OO_1$. Точка $M_1$ — проекция точки $M$ на ось $OO_1$, следовательно, прямая $MM_1$ перпендикулярна оси $OO_1$. Так как $TT_1 \parallel OO_1$ и $MM_1 \perp OO_1$, то прямая $MM_1$ перпендикулярна и прямой $TT_1$. Прямые пересекаются в точке $M$, лежащей на $TT_1$.
Ответ: $90^\circ$.