Номер 94, страница 32 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

94. Найдите боковую и полную поверхности цилиндра, у которого угол между диагоналями развертки боковой поверхности равен $φ$, а сама диагональ — $d$.

Разверткой боковой поверхности цилиндра является прямоугольник. Одна сторона этого прямоугольника равна высоте цилиндра $H$, а другая — длине окружности его основания $C$. Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ равна площади этого прямоугольника, а полная поверхность $S_{полн}$ равна сумме боковой поверхности и площадей двух оснований ($S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн}$).

По условию, диагональ этого прямоугольника равна $d$, а угол между диагоналями равен $\phi$.

Площадь прямоугольника можно найти по формуле площади выпуклого четырехугольника через его диагонали и угол между ними:

$S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin\alpha$

В нашем случае диагонали равны ($d_1 = d_2 = d$), а угол между ними равен $\phi$. Следовательно, площадь боковой поверхности цилиндра $S_{бок}$ равна:

$S_{бок} = \frac{1}{2} d \cdot d \cdot \sin\phi = \frac{1}{2} d^2 \sin\phi$

Ответ: $S_{бок} = \frac{1}{2}d^2\sin\phi$

Для нахождения полной поверхности необходимо вычислить площадь оснований, а для этого нужно знать их радиус $R$. Радиус можно найти из длины окружности основания $C = 2\pi R$, которая является одной из сторон прямоугольника развертки. Найдем стороны этого прямоугольника.

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$. Диагонали делят прямоугольник на четыре равнобедренных треугольника. Применяя теорему косинусов к двум из этих треугольников (с общими сторонами $d/2$ и углами $\phi$ и $180^\circ - \phi$ между ними), находим квадраты сторон $a$ и $b$:

$a^2 = (\frac{d}{2})^2 + (\frac{d}{2})^2 - 2 \cdot \frac{d}{2} \cdot \frac{d}{2} \cos\phi = \frac{d^2}{2}(1 - \cos\phi) = d^2\sin^2(\frac{\phi}{2})$

$b^2 = (\frac{d}{2})^2 + (\frac{d}{2})^2 - 2 \cdot \frac{d}{2} \cdot \frac{d}{2} \cos(180^\circ - \phi) = \frac{d^2}{2}(1 + \cos\phi) = d^2\cos^2(\frac{\phi}{2})$

Отсюда стороны прямоугольника равны $a = d\sin(\frac{\phi}{2})$ и $b = d\cos(\frac{\phi}{2})$ (так как угол $\phi$ между диагоналями находится в диапазоне $(0, \pi)$, то $\phi/2 \in (0, \pi/2)$, и синус и косинус положительны).

Так как в условии не указано, какая из сторон является высотой $H$, а какая — длиной окружности $C$, существуют два возможных случая.

Случай 1: Высота $H = d\sin(\frac{\phi}{2})$ и длина окружности основания $C = d\cos(\frac{\phi}{2})$.

Тогда радиус основания $R = \frac{C}{2\pi} = \frac{d\cos(\frac{\phi}{2})}{2\pi}$.

Площадь двух оснований: $2S_{осн} = 2\pi R^2 = 2\pi \left(\frac{d\cos(\frac{\phi}{2})}{2\pi}\right)^2 = \frac{d^2\cos^2(\frac{\phi}{2})}{2\pi}$.

Полная поверхность: $S_{полн,1} = S_{бок} + 2S_{осн} = \frac{1}{2}d^2\sin\phi + \frac{d^2\cos^2(\frac{\phi}{2})}{2\pi} = \frac{d^2}{2}\left(\sin\phi + \frac{\cos^2(\frac{\phi}{2})}{\pi}\right)$.

Случай 2: Высота $H = d\cos(\frac{\phi}{2})$ и длина окружности основания $C = d\sin(\frac{\phi}{2})$.

Тогда радиус основания $R = \frac{C}{2\pi} = \frac{d\sin(\frac{\phi}{2})}{2\pi}$.

Площадь двух оснований: $2S_{осн} = 2\pi R^2 = 2\pi \left(\frac{d\sin(\frac{\phi}{2})}{2\pi}\right)^2 = \frac{d^2\sin^2(\frac{\phi}{2})}{2\pi}$.

Полная поверхность: $S_{полн,2} = S_{бок} + 2S_{осн} = \frac{1}{2}d^2\sin\phi + \frac{d^2\sin^2(\frac{\phi}{2})}{2\pi} = \frac{d^2}{2}\left(\sin\phi + \frac{\sin^2(\frac{\phi}{2})}{\pi}\right)$.

Ответ: $S_{полн} = \frac{d^2}{2}\left(\sin\phi + \frac{\cos^2(\frac{\phi}{2})}{\pi}\right)$ или $S_{полн} = \frac{d^2}{2}\left(\sin\phi + \frac{\sin^2(\frac{\phi}{2})}{\pi}\right)$.