Номер 27, страница 10 - гдз по химии 11 класс сборник задач Хвалюк, Резяпкин

27. *Какой должна быть массовая и объёмная доли метана в его газообразной смеси с водородом, чтобы такая смесь была в 10 раз легче воздуха?

Дано:

Газовая смесь: метан ($CH_4$) и водород ($H_2$).

Относительная плотность воздуха по смеси: $D_{\text{воздух}}(\text{смесь}) = \frac{M_{\text{воздуха}}}{M_{\text{смеси}}} = 10$.

Средняя молярная масса воздуха: $M_{\text{воздуха}} \approx 29$ г/моль.

Молярная масса метана: $M(CH_4) = 12.01 + 4 \cdot 1.008 \approx 16$ г/моль.

Молярная масса водорода: $M(H_2) = 2 \cdot 1.008 \approx 2$ г/моль.

Перевод в СИ:

$M_{\text{воздуха}} \approx 0.029$ кг/моль.

$M(CH_4) \approx 0.016$ кг/моль.

$M(H_2) \approx 0.002$ кг/моль.

Найти:

$\omega(CH_4)$ — массовая доля метана.

$\phi(CH_4)$ — объёмная доля метана.

Решение:

1. Сначала найдём среднюю молярную массу газовой смеси. Условие, что смесь в 10 раз легче воздуха, означает, что её средняя молярная масса в 10 раз меньше молярной массы воздуха.

$M_{\text{смеси}} = \frac{M_{\text{воздуха}}}{10} = \frac{29 \text{ г/моль}}{10} = 2.9 \text{ г/моль}$.

2. Рассчитаем массовую долю метана ($\omega(CH_4)$). Средняя молярная масса смеси связана с массовыми долями ($\omega$) и молярными массами ($M$) компонентов следующим соотношением:

$\frac{1}{M_{\text{смеси}}} = \frac{\omega(CH_4)}{M(CH_4)} + \frac{\omega(H_2)}{M(H_2)}$

Пусть массовая доля метана $\omega(CH_4) = y$. Поскольку в смеси только два компонента, сумма их массовых долей равна 1, следовательно, массовая доля водорода $\omega(H_2) = 1 - y$.

Подставим известные значения в формулу:

$\frac{1}{2.9} = \frac{y}{16} + \frac{1 - y}{2}$

Приведём дроби в правой части к общему знаменателю 16:

$\frac{1}{2.9} = \frac{y + 8(1 - y)}{16}$

$\frac{1}{2.9} = \frac{y + 8 - 8y}{16}$

$\frac{1}{2.9} = \frac{8 - 7y}{16}$

Решим уравнение относительно $y$:

$16 = 2.9 \cdot (8 - 7y)$

$\frac{16}{2.9} = 8 - 7y$

$7y = 8 - \frac{16}{2.9} = \frac{8 \cdot 2.9 - 16}{2.9} = \frac{23.2 - 16}{2.9} = \frac{7.2}{2.9}$

$y = \frac{7.2}{2.9 \cdot 7} = \frac{7.2}{20.3} \approx 0.35468$

Таким образом, массовая доля метана в смеси составляет примерно 35.47%.

Ответ: массовая доля метана в смеси должна быть приблизительно $35.47\%$.

3. Рассчитаем объёмную долю метана ($\phi(CH_4)$). Для идеальных газов объёмная доля связана с массовой долей через молярные массы:

$\phi(CH_4) = \omega(CH_4) \frac{M_{\text{смеси}}}{M(CH_4)}$

Подставим значения, которые мы уже знаем или вычислили:

$\phi(CH_4) = \frac{7.2}{20.3} \cdot \frac{2.9 \text{ г/моль}}{16 \text{ г/моль}} \approx 0.35468 \cdot \frac{2.9}{16} \approx 0.06429$

Таким образом, объёмная доля метана в смеси составляет примерно 6.43%.

Ответ: объёмная доля метана в смеси должна быть приблизительно $6.43\%$.