Номер 566, страница 91 - гдз по химии 11 класс сборник задач Хвалюк, Резяпкин

566. *Срок хранения пищевых продуктов зависит от протекания в них химических реакций, приводящих к разрушению полезных или накоплению вредных веществ. На упаковке пищевого продукта указано, что срок его хранения при $4 \text{ }^\circ\text{C}$ составляет четверо суток, а при $20 \text{ }^\circ\text{C}$ — 12 часов. Рассчитайте срок хранения продукта при $0 \text{ }^\circ\text{C}$.

Дано:

Температура $t_1 = 4^\circ \text{C}$, срок хранения $\tau_1 = \text{четверо суток}$

Температура $t_2 = 20^\circ \text{C}$, срок хранения $\tau_2 = 12 \text{ часов}$

Температура $t_3 = 0^\circ \text{C}$

Перевод всех данных в систему СИ и единые единицы:

Для расчетов по уравнению Аррениуса необходимо перевести температуру из градусов Цельсия в Кельвины по формуле $T(\text{К}) = t(^\circ\text{C}) + 273.15$. Для упрощения расчетов, характерного для учебных задач, можно использовать $T(\text{К}) = t(^\circ\text{C}) + 273$.

$T_1 = 4 + 273 = 277 \text{ К}$

$T_2 = 20 + 273 = 293 \text{ К}$

$T_3 = 0 + 273 = 273 \text{ К}$

Сроки хранения переведем в часы:

$\tau_1 = 4 \text{ суток} \cdot 24 \text{ часа/сутки} = 96 \text{ часов}$

$\tau_2 = 12 \text{ часов}$

Найти:

Срок хранения $\tau_3$ при температуре $t_3 = 0^\circ \text{C}$.

Решение:

Срок хранения пищевых продуктов определяется скоростью протекания в них химических реакций. Эта скорость зависит от температуры, что описывается уравнением Аррениуса:

$v = A \cdot e^{-\frac{E_a}{RT}}$

где $v$ — скорость реакции, $A$ — предэкспоненциальный множитель, $E_a$ — энергия активации, $R$ — универсальная газовая постоянная, $T$ — абсолютная температура.

Срок хранения $\tau$ обратно пропорционален скорости реакции ($ \tau \propto \frac{1}{v} $). Следовательно, зависимость срока хранения от температуры можно выразить как:

$\tau = C \cdot e^{\frac{E_a}{RT}}$

где $C$ — некоторая константа. Для удобства расчетов это уравнение логарифмируют:

$\ln\tau = \ln C + \frac{E_a}{R} \cdot \frac{1}{T}$

Это уравнение показывает линейную зависимость между натуральным логарифмом срока хранения ($\ln\tau$) и обратной абсолютной температурой ($1/T$). Используем данные для двух известных температур, чтобы найти неизвестные параметры или сразу рассчитать искомый срок хранения.

Составим систему из двух уравнений для известных условий:

$\ln\tau_1 = \ln C + \frac{E_a}{RT_1}$

$\ln\tau_2 = \ln C + \frac{E_a}{RT_2}$

Вычитая второе уравнение из первого, найдем отношение $\frac{E_a}{R}$:

$\ln\tau_1 - \ln\tau_2 = \frac{E_a}{R} \left( \frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_2} \right)$

$\ln\left(\frac{\tau_1}{\tau_2}\right) = \frac{E_a}{R} \left( \frac{T_2 - T_1}{T_1 T_2} \right)$

Подставим числовые значения:

$\ln\left(\frac{96}{12}\right) = \frac{E_a}{R} \left( \frac{293 - 277}{277 \cdot 293} \right)$

$\ln 8 = \frac{E_a}{R} \left( \frac{16}{81161} \right)$

Отсюда можем выразить постоянный для данной реакции коэффициент $\frac{E_a}{R}$:

$\frac{E_a}{R} = \frac{81161 \cdot \ln 8}{16} \approx \frac{81161 \cdot 2.07944}{16} \approx 10547.4 \text{ К}$

Теперь, зная этот коэффициент, мы можем рассчитать срок хранения $\tau_3$ при температуре $T_3$. Запишем аналогичное соотношение для температур $T_1$ и $T_3$:

$\ln\left(\frac{\tau_3}{\tau_1}\right) = \frac{E_a}{R} \left( \frac{T_1 - T_3}{T_3 T_1} \right)$

Подставим известные и вычисленные значения:

$\ln\left(\frac{\tau_3}{96}\right) = 10547.4 \left( \frac{277 - 273}{273 \cdot 277} \right) = 10547.4 \left( \frac{4}{75681} \right)$

$\ln\left(\frac{\tau_3}{96}\right) \approx 10547.4 \cdot 0.00005287 \approx 0.5576$

Теперь найдем отношение сроков хранения:

$\frac{\tau_3}{96} = e^{0.5576} \approx 1.7465$

И, наконец, вычислим $\tau_3$:

$\tau_3 = 96 \cdot 1.7465 \approx 167.66 \text{ часов}$

Полученное значение очень близко к 168 часам. Переведем это значение в сутки:

$168 \text{ часов} \div 24 \text{ часа/сутки} = 7 \text{ суток}$

Небольшое расхождение с целым числом, вероятно, связано с использованием приближенного значения для перевода температуры в Кельвины ($273$ вместо $273.15$) и округлением в промежуточных расчетах. Поэтому можно с уверенностью утверждать, что искомый срок хранения составляет 7 суток.

Ответ: срок хранения продукта при $0^\circ \text{C}$ составит 7 суток.