Номер 20, страница 47 - гдз по математике 5 класс сборник задач Пирютко, Терешко

20. Разложите на простые множители число:

а) 77;

б) 120;

в) 631;

г) 920.

Разложение на простые множители — это представление числа в виде произведения простых чисел. Простое число — это натуральное число больше 1, которое имеет ровно два различных натуральных делителя: 1 и само себя. Для разложения будем последовательно делить число на простые множители (2, 3, 5, 7, 11, ...) до тех пор, пока в результате не останется 1.

а) 77

Для разложения числа 77 на простые множители, будем последовательно проверять его делимость на простые числа, начиная с наименьшего.

1. Число 77 нечетное, следовательно, оно не делится на 2.

2. Сумма цифр числа 77 равна $7 + 7 = 14$. Так как 14 не делится на 3, то и 77 не делится на 3.

3. Число 77 не оканчивается на 0 или 5, значит, оно не делится на 5.

4. Проверим делимость на следующее простое число — 7: $77 \div 7 = 11$.

5. Полученный результат, 11, является простым числом.

Таким образом, разложение числа 77 на простые множители имеет вид:
$77 = 7 \cdot 11$

Ответ: $77 = 7 \cdot 11$

б) 120

Разложим число 120 на простые множители методом последовательного деления.

1. Число 120 четное, делим на 2: $120 \div 2 = 60$.

2. Число 60 четное, делим на 2: $60 \div 2 = 30$.

3. Число 30 четное, делим на 2: $30 \div 2 = 15$.

4. Число 15 не делится на 2. Проверяем следующий простой делитель — 3. $15 \div 3 = 5$.

5. Полученный результат, 5, является простым числом.

Собираем все простые множители вместе:
$120 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5$

Ответ: $120 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5$

в) 631

Для разложения числа 631 на простые множители, будем проверять его делимость на простые числа. Чтобы определить, является ли число простым, достаточно проверить его делимость на простые числа, не превосходящие квадратный корень из этого числа.

$\sqrt{631} \approx 25.1$. Значит, нам нужно проверить делимость на простые числа до 25: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23.

1. 631 не делится на 2 (нечетное).

2. Сумма цифр $6+3+1 = 10$, не делится на 3.

3. Не оканчивается на 0 или 5, не делится на 5.

4. $631 \div 7 = 90$ (остаток 1).

5. $631 \div 11 = 57$ (остаток 4).

6. $631 \div 13 = 48$ (остаток 7).

7. $631 \div 17 = 37$ (остаток 2).

8. $631 \div 19 = 33$ (остаток 4).

9. $631 \div 23 = 27$ (остаток 10).

Так как число 631 не делится ни на одно простое число до $\sqrt{631}$, оно само является простым числом. Разложением простого числа на простые множители является само это число.

Ответ: 631 является простым числом.

г) 920

Разложим число 920 на простые множители.

1. Число четное, делим на 2: $920 \div 2 = 460$.

2. 460 четное, делим на 2: $460 \div 2 = 230$.

3. 230 четное, делим на 2: $230 \div 2 = 115$.

4. Число 115 не делится на 2 или 3. Оно оканчивается на 5, значит делится на 5: $115 \div 5 = 23$.

5. Число 23 является простым.

Собираем все множители вместе:
$920 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 23 = 2^3 \cdot 5 \cdot 23$

Ответ: $920 = 2^3 \cdot 5 \cdot 23$