Номер 15, страница 46 - гдз по математике 5 класс сборник задач Пирютко, Терешко

15. Проверьте с помощью таблицы простых чисел, какие из чисел 181, 201, 225, 229 являются:

а) простыми;

б) составными.

Для определения, какие из чисел 181, 201, 225, 229 являются простыми, а какие составными, проанализируем каждое из них. Простое число — это натуральное число больше 1, которое имеет ровно два делителя: 1 и само себя. Составное число — это натуральное число больше 1, у которого есть и другие делители. Проверку можно провести с помощью таблицы простых чисел или методом проверки делимости на простые числа, не превосходящие квадратный корень из исследуемого числа.

а) простыми

Проверим, какие из указанных чисел являются простыми.

Число 181:
Для проверки простоты числа 181 найдем простые числа, на которые нужно проверить делимость. Эти числа не должны превышать $\sqrt{181}$. Поскольку $13^2 = 169$ и $14^2 = 196$, то $\sqrt{181} \approx 13.45$. Следовательно, нам нужно проверить делимость на простые числа: 2, 3, 5, 7, 11, 13.
- 181 — нечетное, поэтому на 2 не делится.
- Сумма цифр $1+8+1=10$, 10 не делится на 3, значит, и 181 на 3 не делится.
- Число не оканчивается на 0 или 5, поэтому на 5 не делится.
- Делим на 7: $181 = 7 \times 25 + 6$. Не делится.
- Делим на 11: $181 = 11 \times 16 + 5$. Не делится.
- Делим на 13: $181 = 13 \times 13 + 12$. Не делится.
Так как 181 не делится ни на одно простое число вплоть до своего квадратного корня, оно является простым.

Число 229:
Для проверки простоты числа 229 найдем простые числа, не превосходящие $\sqrt{229}$. Поскольку $15^2 = 225$ и $16^2 = 256$, то $\sqrt{229} \approx 15.13$. Проверяем делимость на простые числа: 2, 3, 5, 7, 11, 13.
- 229 — нечетное, на 2 не делится.
- Сумма цифр $2+2+9=13$, 13 не делится на 3, значит, и 229 на 3 не делится.
- Число не оканчивается на 0 или 5, поэтому на 5 не делится.
- Делим на 7: $229 = 7 \times 32 + 5$. Не делится.
- Делим на 11: $229 = 11 \times 20 + 9$. Не делится.
- Делим на 13: $229 = 13 \times 17 + 8$. Не делится.
Число 229 не имеет других простых делителей, кроме самого себя, следовательно, оно является простым.

Ответ: простыми являются числа 181 и 229.

б) составными

Проверим, какие из указанных чисел являются составными.

Число 201:
Для проверки используем признаки делимости. Сумма цифр числа 201 равна $2+0+1=3$. Так как 3 делится на 3, то и само число 201 делится на 3.$201 = 3 \times 67$. Поскольку у числа 201 есть делители 3 и 67, отличные от 1 и 201, оно является составным.

Число 225:
Это число оканчивается на 5, следовательно, по признаку делимости, оно делится на 5.$225 \div 5 = 45$. Также сумма цифр числа 225 равна $2+2+5=9$. 9 делится на 9, значит, и 225 делится на 9.$225 \div 9 = 25$. Число 225 имеет несколько делителей (например, 3, 5, 9, 15, 25, 45, 75), поэтому оно является составным. Также можно заметить, что это полный квадрат: $225 = 15^2$.

Ответ: составными являются числа 201 и 225.