Номер 11, страница 46 - гдз по математике 5 класс сборник задач Пирютко, Терешко

11. Используйте признаки делимости и разложите на простые множители число:

а) 420;

б) 500.

а) Чтобы разложить число 420 на простые множители, будем последовательно делить его на простые числа, используя признаки делимости.

1. Число 420 оканчивается на 0, что означает, что оно четное. Следовательно, оно делится на 2.
$420 : 2 = 210$.

2. Полученное число 210 также оканчивается на 0, значит, оно тоже делится на 2.
$210 : 2 = 105$.

3. Число 105 нечетное, поэтому на 2 не делится. Проверим делимость на следующее простое число — 3. Сумма цифр числа 105 равна $1 + 0 + 5 = 6$. Так как 6 делится на 3, то и 105 делится на 3.
$105 : 3 = 35$.

4. Для числа 35 проверим делимость на следующее простое число — 5. Число 35 оканчивается на 5, следовательно, оно делится на 5.
$35 : 5 = 7$.

5. Число 7 является простым, поэтому деление завершено.

Таким образом, простые множители числа 420 — это 2, 2, 3, 5, 7. Запишем разложение, сгруппировав одинаковые множители в виде степени:
$420 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$.

Ответ: $420 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$.

б) Разложим на простые множители число 500, используя признаки делимости.

1. Число 500 оканчивается на 0, значит, оно четное и делится на 2.
$500 : 2 = 250$.

2. Число 250 также четное, поэтому оно снова делится на 2.
$250 : 2 = 125$.

3. Число 125 нечетное. Проверим делимость на 3: сумма цифр $1 + 2 + 5 = 8$, 8 на 3 не делится. Переходим к следующему простому числу — 5. Число 125 оканчивается на 5, значит, оно делится на 5.
$125 : 5 = 25$.

4. Число 25 также оканчивается на 5, поэтому оно делится на 5.
$25 : 5 = 5$.

5. Число 5 является простым. Деление закончено.

Итак, простые множители числа 500 — это 2, 2, 5, 5, 5. Запишем разложение в виде произведения степеней простых множителей:
$500 = 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 2^2 \cdot 5^3$.

Ответ: $500 = 2^2 \cdot 5^3$.