Номер 22, страница 47 - гдз по математике 5 класс сборник задач Пирютко, Терешко

22. Замените звёздочки числами, чтобы равенство было верным:

а) $63 \cdot * = 129 \cdot *;$

б) $4 \cdot 5 \cdot * = 3 \cdot 30 \cdot *.$

а)

Пусть вместо звёздочек стоят числа $x$ и $y$. Тогда равенство примет вид:

$63 \cdot x = 129 \cdot y$

Чтобы найти пару чисел $x$ и $y$, разложим коэффициенты 63 и 129 на простые множители.

$63 = 3 \cdot 3 \cdot 7 = 3^2 \cdot 7$

$129 = 3 \cdot 43$

Подставим разложения в уравнение:

$(3^2 \cdot 7) \cdot x = (3 \cdot 43) \cdot y$

Чтобы равенство было верным, набор простых множителей в левой и правой частях должен быть одинаковым. Сократим обе части на общий множитель 3:

$(3 \cdot 7) \cdot x = 43 \cdot y$

$21 \cdot x = 43 \cdot y$

Числа 21 и 43 являются взаимно простыми (не имеют общих делителей, кроме 1). Следовательно, для выполнения равенства $x$ должен быть кратен 43, а $y$ должен быть кратен 21. Самое простое натуральное решение — это $x = 43$ и $y = 21$.

Проверим это решение, подставив числа в исходное равенство:

Левая часть: $63 \cdot 43 = 2709$

Правая часть: $129 \cdot 21 = 2709$

Так как $2709 = 2709$, равенство верно.

Ответ: $63 \cdot 43 = 129 \cdot 21$.

б)

Аналогично, пусть вместо звёздочек стоят числа $x$ и $y$. Равенство будет выглядеть так:

$4 \cdot 5 \cdot x = 3 \cdot 30 \cdot y$

Сначала вычислим произведения известных чисел в обеих частях равенства.

В левой части: $4 \cdot 5 = 20$.

В правой части: $3 \cdot 30 = 90$.

Теперь равенство можно записать в более простом виде:

$20 \cdot x = 90 \cdot y$

Чтобы найти наименьшие натуральные числа $x$ и $y$, упростим это равенство, разделив обе части на их наибольший общий делитель, который равен 10.

$2 \cdot x = 9 \cdot y$

Числа 2 и 9 взаимно просты. Поэтому для выполнения равенства $x$ должен быть кратен 9, а $y$ — кратен 2. Выберем наименьшие натуральные значения: $x = 9$ и $y = 2$.

Выполним проверку, подставив найденные числа в исходное равенство:

Левая часть: $4 \cdot 5 \cdot 9 = 20 \cdot 9 = 180$.

Правая часть: $3 \cdot 30 \cdot 2 = 90 \cdot 2 = 180$.

Так как $180 = 180$, равенство верно.

Ответ: $4 \cdot 5 \cdot 9 = 3 \cdot 30 \cdot 2$.