Номер 21, страница 47 - гдз по математике 5 класс сборник задач Пирютко, Терешко

21. Выберите способ для нахождения всех делите-

лей числа:

a) 412;

б) 907.

Для нахождения всех делителей числа можно использовать метод разложения числа на простые множители. Этот метод заключается в следующем:

1. Найти каноническое разложение числа $N$ на простые множители: $N = p_1^{a_1} \cdot p_2^{a_2} \cdot \ldots \cdot p_k^{a_k}$.

2. Любой делитель числа $N$ будет иметь вид $d = p_1^{b_1} \cdot p_2^{b_2} \cdot \ldots \cdot p_k^{b_k}$, где показатель степени $b_i$ для каждого простого множителя $p_i$ может принимать любое целое значение от $0$ до $a_i$.

3. Комбинируя все возможные значения показателей степеней, можно найти все делители.

а) 412

1. Разложим число 412 на простые множители.
- Число 412 является четным, поэтому оно делится на 2: $412 \div 2 = 206$.
- Полученное число 206 также четное: $206 \div 2 = 103$.
- Теперь нужно проверить число 103. Для определения, является ли оно простым, достаточно проверить его делимость на простые числа, не превосходящие $\sqrt{103} \approx 10.1$. Это простые числа 2, 3, 5, 7.
- 103 не делится на 2 (нечетное).
- 103 не делится на 3 (сумма цифр $1+0+3=4$ не делится на 3).
- 103 не делится на 5 (не оканчивается на 0 или 5).
- 103 не делится на 7 ($103 = 14 \cdot 7 + 5$).
Следовательно, 103 — простое число.
Таким образом, разложение числа 412 на простые множители имеет вид: $412 = 2^2 \cdot 103^1$.

2. Найдем все делители.
Делители числа 412 будут иметь вид $2^a \cdot 103^b$, где $a$ может быть 0, 1 или 2, а $b$ может быть 0 или 1. Переберем все возможные комбинации:
$2^0 \cdot 103^0 = 1 \cdot 1 = 1$
$2^1 \cdot 103^0 = 2 \cdot 1 = 2$
$2^2 \cdot 103^0 = 4 \cdot 1 = 4$
$2^0 \cdot 103^1 = 1 \cdot 103 = 103$
$2^1 \cdot 103^1 = 2 \cdot 103 = 206$
$2^2 \cdot 103^1 = 4 \cdot 103 = 412$
Запишем все найденные делители в порядке возрастания.

Ответ: Делителями числа 412 являются 1, 2, 4, 103, 206, 412.

б) 907

1. Попытаемся разложить число 907 на простые множители.
Для этого будем последовательно проверять его делимость на простые числа, начиная с наименьшего (2, 3, 5, ...). Проверку достаточно вести до целых чисел, не превосходящих $\sqrt{907}$.
Поскольку $30^2 = 900$ и $31^2 = 961$, то $\sqrt{907} \approx 30.1$. Значит, нам нужно проверить делимость на простые числа до 29 (это 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29).
- На 2: не делится (число нечетное).
- На 3: не делится (сумма цифр $9+0+7=16$ не делится на 3).
- На 5: не делится (не оканчивается на 0 или 5).
- На 7: $907 \div 7 = 129$ (остаток 4).
- На 11: $907 \div 11 = 82$ (остаток 5).
- На 13: $907 \div 13 = 69$ (остаток 10).
- На 17: $907 \div 17 = 53$ (остаток 6).
- На 19: $907 \div 19 = 47$ (остаток 14).
- На 23: $907 \div 23 = 39$ (остаток 10).
- На 29: $907 \div 29 = 31$ (остаток 8).
Поскольку 907 не имеет ни одного простого делителя вплоть до своего квадратного корня, число 907 является простым.

2. Найдем все делители.
У любого простого числа есть только два делителя: единица и само это число.

Ответ: Делителями числа 907 являются 1, 907.