Номер 151, страница 118 - гдз по математике 6 класс учебник Герасимов, Пирютко

151. Площадь прямоугольника $96 \text{ м}^2$. Как изменится длина прямоугольника, если его ширину:

a) увеличить в 4 раза;

б) уменьшить в 1,5 раза?

Площадь прямоугольника ($S$) вычисляется по формуле $S = a \cdot b$, где $a$ — длина, а $b$ — ширина. По условию задачи, площадь прямоугольника $S$ постоянна и равна $96 \text{ м}^2$. Из этой формулы можно выразить длину через площадь и ширину: $a = \frac{S}{b}$.

Из соотношения $a = \frac{S}{b}$ следует, что при постоянной площади ($S = \text{const}$) длина ($a$) и ширина ($b$) являются обратно пропорциональными величинами. Это значит, что во сколько раз мы изменяем одну сторону, во столько же раз в обратную сторону изменится другая, чтобы их произведение осталось неизменным.

а) увеличить в 4 раза;
Если ширину прямоугольника увеличить в 4 раза, то для сохранения постоянной площади его длину необходимо уменьшить в 4 раза.
Проверим математически:
Пусть начальные длина и ширина — $a_1$ и $b_1$. Тогда $S = a_1 \cdot b_1$.
Новая ширина $b_2 = 4 \cdot b_1$. Новая длина — $a_2$.
Так как площадь не изменилась, $a_2 \cdot b_2 = a_1 \cdot b_1$.
Подставим в это равенство новое значение ширины: $a_2 \cdot (4 \cdot b_1) = a_1 \cdot b_1$.
Разделив обе части на $b_1$ (которое не равно нулю), получим: $4a_2 = a_1$, или $a_2 = \frac{a_1}{4}$.
Это доказывает, что новая длина стала в 4 раза меньше.
Ответ: длина уменьшится в 4 раза.

б) уменьшить в 1,5 раза?
Если ширину прямоугольника уменьшить в 1,5 раза, то для сохранения постоянной площади его длину необходимо увеличить в 1,5 раза.
Проверим математически:
Пусть начальные длина и ширина — $a_1$ и $b_1$. Тогда $S = a_1 \cdot b_1$.
Новая ширина $b_2 = \frac{b_1}{1,5}$. Новая длина — $a_2$.
Так как площадь не изменилась, $a_2 \cdot b_2 = a_1 \cdot b_1$.
Подставим в это равенство новое значение ширины: $a_2 \cdot \frac{b_1}{1,5} = a_1 \cdot b_1$.
Разделив обе части на $b_1$, получим: $\frac{a_2}{1,5} = a_1$, или $a_2 = a_1 \cdot 1,5$.
Это доказывает, что новая длина стала в 1,5 раза больше. Число 1,5 можно представить как неправильную дробь $\frac{3}{2}$ или как смешанное число $1\frac{1}{2}$. Целая часть этого числа равна 1.
Ответ: длина увеличится в 1,5 раза.