Номер 68, страница 165 - гдз по математике 6 класс учебник Герасимов, Пирютко

68. Приведите примеры двух таких множеств $A$ и $B$, чтобы их объединением было множество $T = \{5, 6, 7, 9, 11, 16, 19\}$, а пересечением — множество $N = \{6, 11, 16\}$. Сколько решений имеет задача?

Приведите примеры двух таких множеств А и В, чтобы их объединением было множество T = {5, 6, 7, 9, 11, 16, 19}, а пересечением — множество N = {6, 11, 16}:
Для решения задачи определим, какие элементы должны входить в каждое из множеств.
1. Элементы из пересечения $A \cap B = N = \{6, 11, 16\}$ по определению должны входить в оба множества: и в А, и в В.
2. Найдем элементы, которые есть в объединении, но отсутствуют в пересечении (это называется симметрическая разность): $T \setminus N = \{5, 6, 7, 9, 11, 16, 19\} \setminus \{6, 11, 16\} = \{5, 7, 9, 19\}$.
3. Каждый из этих четырех элементов $\{5, 7, 9, 19\}$ должен принадлежать ровно одному из множеств (либо А, либо В, но не обоим сразу).

Исходя из этого, можно составить примеры, по-разному распределяя элементы из $T \setminus N$:

Пример 1: Все элементы из $T \setminus N$ помещаем в множество А.
$A = \{6, 11, 16\} \cup \{5, 7, 9, 19\} = \{5, 6, 7, 9, 11, 16, 19\}$
$B = \{6, 11, 16\}$

Пример 2: Распределим элементы из $T \setminus N$ между А и В. Например, $\{5, 7\}$ поместим в А, а $\{9, 19\}$ — в В.
$A = \{6, 11, 16\} \cup \{5, 7\} = \{5, 6, 7, 11, 16\}$
$B = \{6, 11, 16\} \cup \{9, 19\} = \{6, 9, 11, 16, 19\}$

Ответ: например, $A = \{5, 6, 7, 11, 16\}$ и $B = \{6, 9, 11, 16, 19\}$.

Сколько решений имеет задача?:
Как было определено выше, построение пары множеств (А, В) сводится к распределению четырех элементов множества $T \setminus N = \{5, 7, 9, 19\}$. Для каждого из этих элементов существует ровно два возможных варианта: он может быть помещен либо в множество A (и тогда он не в B), либо в множество B (и тогда он не в A).
Поскольку для каждого из 4-х элементов есть 2 независимых варианта, общее количество возможных распределений (и, следовательно, решений задачи) находится как произведение числа вариантов для каждого элемента:
$N_{решений} = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^4 = 16$.

Ответ: 16.