Номер 177, страница 217 - гдз по математике 6 класс учебник Герасимов, Пирютко

177. Найдите сумму всех целых чисел:

а) от $-90$ до $90$;

б) от $-90$ до $100$.

а) от -90 до 90;

Чтобы найти сумму всех целых чисел от $-90$ до $90$ включительно, мы рассматриваем ряд чисел: $-90, -89, -88, \dots, -1, 0, 1, \dots, 88, 89, 90$.

В этом ряду для каждого положительного числа (от $1$ до $90$) есть соответствующее ему противоположное отрицательное число (от $-1$ до $-90$). Сумма двух противоположных чисел всегда равна нулю, например, $1 + (-1) = 0$, $2 + (-2) = 0$, и так далее.

Запишем сумму и сгруппируем слагаемые:

$S = (-90 + 90) + (-89 + 89) + \dots + (-1 + 1) + 0$

Каждая пара чисел в скобках дает в сумме $0$. В центре ряда находится число $0$, которое не влияет на сумму.

$S = 0 + 0 + \dots + 0 + 0 = 0$

Таким образом, сумма всех целых чисел от $-90$ до $90$ равна нулю.

Ответ: 0.

б) от -90 до 100;

Нам нужно найти сумму целых чисел от $-90$ до $100$. Эту задачу можно решить, используя свойство, обнаруженное в пункте а), или применив формулу суммы арифметической прогрессии.

Способ 1: Разбиение суммы.

Представим сумму как сумму двух частей: чисел от $-90$ до $90$ и чисел от $91$ до $100$.

$S = (-90 + (-89) + \dots + 89 + 90) + (91 + 92 + \dots + 100)$

Из пункта а) мы знаем, что сумма первой части (от $-90$ до $90$) равна $0$.

Теперь найдем сумму второй части: $91 + 92 + \dots + 100$. Это арифметическая прогрессия, где первый член $a_1 = 91$, последний член $a_n = 100$, а количество членов $n = 100 - 91 + 1 = 10$.

Сумма этой прогрессии вычисляется по формуле $S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}$:

$S_{91-100} = \frac{(91 + 100) \cdot 10}{2} = \frac{191 \cdot 10}{2} = 191 \cdot 5 = 955$

Итоговая сумма: $S = 0 + 955 = 955$.

Способ 2: Формула арифметической прогрессии для всего ряда.

Весь ряд чисел от $-90$ до $100$ является арифметической прогрессией.

Первый член $a_1 = -90$.

Последний член $a_n = 100$.

Количество членов $n = 100 - (-90) + 1 = 100 + 90 + 1 = 191$.

Подставляем эти значения в формулу суммы:

$S_{191} = \frac{(-90 + 100) \cdot 191}{2} = \frac{10 \cdot 191}{2} = \frac{1910}{2} = 955$

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: 955.