Номер 11, страница 202 - гдз по математике 6 класс сборник задач Пирютко, Терешко

11. На столе лежит десять пронумерованных шляп. В каждой шляпе лежит по десять золотых монет. В одной из шляп находятся фальшивые монеты. Настоящая весит 10 граммов, а поддельная только 9. В помощь даны весы со шкалой в граммах. Как определить, в какой из шляп находятся фальшивые монеты, используя весы только для одного взвешивания? Весы могут взвешивать не более 750 граммов.

Для определения шляпы с фальшивыми монетами за одно взвешивание используется метод, основанный на создании уникальной недостачи веса для каждой шляпы. Алгоритм действий следующий:

1. Пронумеровать все десять шляп от 1 до 10.
2. Взять из каждой шляпы количество монет, равное ее порядковому номеру:
   • из шляпы №1 — 1 монету;
   • из шляпы №2 — 2 монеты;
   • из шляпы №3 — 3 монеты;
   • ...и так далее, до шляпы №10, из которой нужно взять 10 монет.
3. Положить все отобранные монеты (всего $1+2+...+10=55$ монет) на весы.

Обоснование метода:

Если бы все монеты были настоящими, их общий вес составил бы $55 \text{ монет} \times 10 \text{ грамм} = 550 \text{ грамм}$. Это значение не превышает предел весов в 750 грамм.

По условию, фальшивая монета весит на 1 грамм меньше настоящей ($10 \text{ г} - 9 \text{ г} = 1 \text{ г}$).

Если фальшивые монеты находятся в шляпе с номером $N$, то при взвешивании на весах окажется ровно $N$ фальшивых монет. Это приведет к тому, что общий вес будет ровно на $N$ граммов меньше, чем 550 грамм.

Таким образом, номер искомой шляпы можно вычислить по формуле, где $W$ — показание весов в граммах:

$N = 550 - W$

Пример: Если весы показали 543 грамма, то номер шляпы с фальшивыми монетами равен $550 - 543 = 7$.