Номер 15, страница 202 - гдз по математике 6 класс сборник задач Пирютко, Терешко

15. На чудо-дереве растут яблоки и груши. За один раз разрешается сорвать с него два плода. Если сорвать два яблока или две груши, то вырастет ещё одно яблоко, а если сорвать одну грушу и одно яблоко, то вырастет одна груша. В итоге остался один плод. Какой это плод, если известно, что вначале на дереве было 22 яблока и 19 груш?

Для решения этой задачи необходимо проанализировать, как меняется количество яблок и груш, а в особенности их четность, после каждого действия.

Пусть $Я$ — это количество яблок, а $Г$ — количество груш.

Изначальные условия:

• $Я_{начальное} = 22$ (четное число)
• $Г_{начальное} = 19$ (нечетное число)

Рассмотрим все три возможных действия и их влияние на количество плодов:

1. Если сорвать два яблока.
   Количество яблок изменится на $-2$ (сорвали) и $+1$ (выросло), то есть итоговое изменение равно $-1$. Количество груш не изменится.
   Новое количество: $Я - 1$, $Г$.
   Анализ четности: четность количества яблок меняется, а четность количества груш — нет.
2. Если сорвать две груши.
   Количество груш изменится на $-2$. Количество яблок увеличится на $+1$.
   Новое количество: $Я + 1$, $Г - 2$.
   Анализ четности: четность количества яблок меняется. Четность количества груш — нет (так как при вычитании 2 четность числа сохраняется).
3. Если сорвать одну грушу и одно яблоко.
   Количество яблок уменьшится на $1$. Количество груш изменится на $-1$ (сорвали) и $+1$ (выросла), то есть итоговое изменение равно $0$.
   Новое количество: $Я - 1$, $Г$.
   Анализ четности: четность количества яблок меняется, а четность количества груш — нет.

Мы видим, что при любом возможном действии четность количества груш на дереве не меняется. Это свойство называется инвариантом.

Изначально на дереве было 19 груш, что является нечетным числом. Следовательно, после любого количества операций количество груш на дереве всегда будет оставаться нечетным.

В конце на дереве остался один плод. Это означает один из двух исходов:

• Осталось 1 яблоко и 0 груш.
• Осталась 1 груша и 0 яблок.

Рассмотрим эти исходы с учетом нашего вывода:

• Вариант "0 груш" невозможен, так как 0 — это четное число, а мы установили, что количество груш всегда должно быть нечетным.
• Вариант "1 груша" полностью соответствует нашему выводу, так как 1 — это нечетное число.

Таким образом, единственным возможным оставшимся плодом может быть только груша.

Какой это плод, если известно, что вначале на дереве было 22 яблока и 19 груш? Ответ: груша.