Номер 20, страница 204 - гдз по математике 6 класс сборник задач Пирютко, Терешко

20. Саша и Лёша и вместе весят меньше, чем Дима и Олег; Олег и Саша вместе весят меньше, чем Юра и Игорь. Какое из следующих утверждений заведомо является верным:

а) Саша и Игорь вместе весят меньше, чем Юра и Олег; ($S + I < Y + O$)

б) Олег и Игорь вместе весят больше, чем Дима и Юра; ($O + I > D + Y$)

в) Олег и Юра вместе весят больше, чем Саша и Дима; ($O + Y > S + D$)

г) Саша и Лёша вместе весят меньше, чем Дима и Юра; ($S + L < D + Y$)

д) Саша, Лёша и Дима вместе весят столько же, сколько Олег, Игорь и Юра? ($S + L + D = O + I + Y$)

Для решения задачи введем переменные, обозначающие вес каждого человека:

• $С$ — вес Саши
• $Л$ — вес Лёши
• $Д$ — вес Димы
• $О$ — вес Олега
• $Ю$ — вес Юры
• $И$ — вес Игоря

Из условия задачи мы имеем два неравенства:

1. Саша и Лёша вместе весят меньше, чем Дима и Олег: $С + Л < Д + О$
2. Олег и Саша вместе весят меньше, чем Юра и Игорь: $О + С < Ю + И$

Теперь проанализируем каждое из предложенных утверждений, чтобы определить, какое из них является заведомо верным, то есть следует из этих двух условий при любых значениях веса, удовлетворяющих им.

а) Саша и Игорь вместе весят меньше, чем Юра и Олег;

Это утверждение можно записать в виде неравенства: $С + И < Ю + О$.
Чтобы проверить, является ли это утверждение заведомо верным, попробуем найти контрпример — набор весов, который удовлетворяет исходным условиям, но не удовлетворяет этому утверждению.
Пусть веса будут следующими:$С = 30$ кг, $Л = 30$ кг, $Д = 40$ кг, $О = 30$ кг, $Ю = 35$ кг, $И = 35$ кг.
Проверим исходные условия:
1) $С + Л < Д + О \rightarrow 30 + 30 < 40 + 30 \rightarrow 60 < 70$. (Верно)
2) $О + С < Ю + И \rightarrow 30 + 30 < 35 + 35 \rightarrow 60 < 70$. (Верно)
Теперь проверим утверждение (а):
$С + И < Ю + О \rightarrow 30 + 35 < 35 + 30 \rightarrow 65 < 65$. (Неверно, так как 65 не меньше 65).
Поскольку мы нашли контрпример, данное утверждение не является заведомо верным.

Ответ: Утверждение не является заведомо верным.

б) Олег и Игорь вместе весят больше, чем Дима и Юра;

Это утверждение можно записать в виде неравенства: $О + И > Д + Ю$.
Снова попробуем найти контрпример.
Пусть веса будут следующими:$С = 10$ кг, $Л = 10$ кг, $Д = 30$ кг, $О = 30$ кг, $Ю = 50$ кг, $И = 11$ кг.
Проверим исходные условия:
1) $С + Л < Д + О \rightarrow 10 + 10 < 30 + 30 \rightarrow 20 < 60$. (Верно)
2) $О + С < Ю + И \rightarrow 30 + 10 < 50 + 11 \rightarrow 40 < 61$. (Верно)
Теперь проверим утверждение (б):
$О + И > Д + Ю \rightarrow 30 + 11 > 30 + 50 \rightarrow 41 > 80$. (Неверно)
Следовательно, это утверждение также не является заведомо верным.

Ответ: Утверждение не является заведомо верным.

в) Олег и Юра вместе весят больше, чем Саша и Дима;

Это утверждение можно записать в виде неравенства: $О + Ю > С + Д$.
Ищем контрпример.
Пусть веса будут следующими:$С = 10$ кг, $Л = 10$ кг, $Д = 50$ кг, $О = 30$ кг, $Ю = 20$ кг, $И = 21$ кг.
Проверим исходные условия:
1) $С + Л < Д + О \rightarrow 10 + 10 < 50 + 30 \rightarrow 20 < 80$. (Верно)
2) $О + С < Ю + И \rightarrow 30 + 10 < 20 + 21 \rightarrow 40 < 41$. (Верно)
Теперь проверим утверждение (в):
$О + Ю > С + Д \rightarrow 30 + 20 > 10 + 50 \rightarrow 50 > 60$. (Неверно)
Таким образом, это утверждение не является заведомо верным.

Ответ: Утверждение не является заведомо верным.

г) Саша и Лёша вместе весят меньше, чем Дима и Юра;

Это утверждение можно записать в виде неравенства: $С + Л < Д + Ю$.
Ищем контрпример.
Пусть веса будут следующими:$С = 30$ кг, $Л = 35$ кг, $Д = 40$ кг, $О = 30$ кг, $Ю = 20$ кг, $И = 41$ кг.
Проверим исходные условия:
1) $С + Л < Д + О \rightarrow 30 + 35 < 40 + 30 \rightarrow 65 < 70$. (Верно)
2) $О + С < Ю + И \rightarrow 30 + 30 < 20 + 41 \rightarrow 60 < 61$. (Верно)
Теперь проверим утверждение (г):
$С + Л < Д + Ю \rightarrow 30 + 35 < 40 + 20 \rightarrow 65 < 60$. (Неверно)
Поскольку мы нашли контрпример, это утверждение также не является заведомо верным.

Ответ: Утверждение не является заведомо верным.

д) Саша, Лёша и Дима вместе весят столько же, сколько Олег, Игорь и Юра?

Это утверждение можно записать в виде равенства: $С + Л + Д = О + И + Ю$.
Утверждение о точном равенстве почти наверняка не будет следовать из неравенств. Найдем контрпример.
Возьмем любой из предыдущих наборов весов, например, из пункта (г):
$С = 30, Л = 35, Д = 40, О = 30, Ю = 20, И = 41$.
Проверим утверждение (д):
$С + Л + Д = О + И + Ю \rightarrow 30 + 35 + 40 = 30 + 41 + 20 \rightarrow 105 = 91$. (Неверно)
Следовательно, это утверждение не является заведомо верным.

Ответ: Утверждение не является заведомо верным.

Вывод

Строгий математический анализ с использованием контрпримеров показывает, что ни одно из предложенных утверждений (а, б, в, г, д) не является заведомо верным. Все они могут быть как истинными, так и ложными в зависимости от конкретных значений весов, удовлетворяющих исходным условиям. Вероятнее всего, в условии задачи или в вариантах ответа содержится опечатка, так как в текущей формулировке задача не имеет правильного ответа среди предложенных.