Номер 19, страница 203 - гдз по математике 6 класс сборник задач Пирютко, Терешко

19. Турист выбрал 2-часовой маршрут от пункта $A$ до пункта $C$ и обратно по той же дороге. Участок пути от $A$ до находящегося на маршруте пункта $B$ — плоский, от $B$ до $C$ идёт подъём в гору. Скорость туриста на плоском участке равна $4$ км/ч, при подъёме в гору — $3$ км/ч, а при спуске с горы (на обратном пути) — $6$ км/ч. Определите длину пройденного туристом пути:

а) $6$ км;

б) $7,5$ км;

в) $8$ км;

г) $10$ км;

д) нельзя определить.

Для решения задачи введем переменные и составим уравнение на основе времени, затраченного на каждый участок пути.

Пусть $x$ (км) — длина плоского участка пути (от A до B), а $y$ (км) — длина участка с подъемом (от B до C).

Весь маршрут туриста состоит из четырех этапов:

1. Путь из А в В (плоский участок):
   Расстояние: $x$ км
   Скорость: $v_{плоский} = 4$ км/ч
   Время: $t_1 = \frac{x}{4}$ ч
2. Путь из В в С (подъем в гору):
   Расстояние: $y$ км
   Скорость: $v_{подъем} = 3$ км/ч
   Время: $t_2 = \frac{y}{3}$ ч
3. Путь из С в В (спуск с горы):
   Расстояние: $y$ км
   Скорость: $v_{спуск} = 6$ км/ч
   Время: $t_3 = \frac{y}{6}$ ч
4. Путь из В в А (плоский участок):
   Расстояние: $x$ км
   Скорость: $v_{плоский} = 4$ км/ч
   Время: $t_4 = \frac{x}{4}$ ч

Общее время в пути, согласно условию, составляет 2 часа. Мы можем составить уравнение, сложив время всех четырех этапов:

$T_{общ} = t_1 + t_2 + t_3 + t_4 = 2$

Подставим выражения для времени:

$\frac{x}{4} + \frac{y}{3} + \frac{y}{6} + \frac{x}{4} = 2$

Сгруппируем слагаемые с одинаковыми переменными, чтобы упростить уравнение:

$(\frac{x}{4} + \frac{x}{4}) + (\frac{y}{3} + \frac{y}{6}) = 2$

Выполним сложение. Для дробей с переменной $y$ приведем их к общему знаменателю 6:

$\frac{2x}{4} + (\frac{2y}{6} + \frac{y}{6}) = 2$

$\frac{x}{2} + \frac{3y}{6} = 2$

Сократим вторую дробь:

$\frac{x}{2} + \frac{y}{2} = 2$

Теперь мы можем объединить дроби в левой части:

$\frac{x+y}{2} = 2$

Отсюда находим сумму $(x+y)$:

$x+y = 2 \times 2 = 4$ км.

Сумма $(x+y)$ представляет собой расстояние от начального пункта А до конечного пункта С, то есть длину пути в одну сторону.

В задаче требуется найти **длину пройденного туристом пути**, то есть полного маршрута от А до С и обратно. Для этого необходимо удвоить расстояние в одну сторону:

$S_{общий} = 2 \times (x+y) = 2 \times 4 = 8$ км.

Альтернативное решение (через среднюю скорость):

Рассмотрим среднюю скорость на каждом типе рельефа для полного пути (туда и обратно).

• На плоском участке (А-В и В-А) скорость постоянна и равна 4 км/ч. Средняя скорость на этом участке также равна 4 км/ч.
• На холмистом участке (В-С и С-В) найдем среднюю скорость. Время на подъем $t_{подъем} = \frac{y}{3}$, время на спуск $t_{спуск} = \frac{y}{6}$. Общее расстояние на этом участке (туда и обратно) равно $2y$. Общее время: $t_{холм} = \frac{y}{3} + \frac{y}{6} = \frac{2y+y}{6} = \frac{3y}{6} = \frac{y}{2}$. Средняя скорость на холмистом участке: $v_{ср.холм} = \frac{2y}{t_{холм}} = \frac{2y}{y/2} = 4$ км/ч.

Получается, что средняя скорость движения как на плоском, так и на холмистом участке маршрута одинакова и составляет 4 км/ч. Следовательно, средняя скорость на всем маршруте равна 4 км/ч.

Зная общую среднюю скорость и общее время, можно найти общий путь:

$S_{общий} = v_{средняя} \times T_{общ} = 4 \text{ км/ч} \times 2 \text{ ч} = 8$ км.

Оба способа решения приводят к одному и тому же результату.

в) 8 км; Ответ: 8