Номер 12, страница 202 - гдз по математике 6 класс сборник задач Пирютко, Терешко

12. Кузнечик прыгал вдоль прямой и вернулся в исходную точку (длина прыжка 50 см). Докажите, что он сделал чётное число прыжков.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся координатной прямой. Пусть начальное положение кузнечика находится в точке с координатой 0.

Каждый прыжок кузнечика имеет фиксированную длину 50 см. Поскольку он прыгает вдоль прямой, существует два возможных направления для каждого прыжка:

• Прыжок вправо, который изменяет координату на $+50$ см.
• Прыжок влево, который изменяет координату на $-50$ см.

Введем обозначения:

• Пусть $n_R$ — это количество прыжков, сделанных кузнечиком вправо.
• Пусть $n_L$ — это количество прыжков, сделанных кузнечиком влево.

Общее количество прыжков $N$ равно сумме прыжков в обоих направлениях: $N = n_R + n_L$.

Согласно условию задачи, кузнечик в итоге вернулся в исходную точку. Это означает, что его конечное смещение относительно точки 0 равно нулю. Мы можем записать это в виде уравнения, где суммарное смещение равно сумме смещений от всех прыжков:

$$ (n_R \times 50) + (n_L \times (-50)) = 0 $$

Упростим это уравнение:

$$ 50 \cdot n_R - 50 \cdot n_L = 0 $$

Перенесем одно из слагаемых в правую часть:

$$ 50 \cdot n_R = 50 \cdot n_L $$

Разделим обе части уравнения на 50:

$$ n_R = n_L $$

Этот результат означает, что для возврата в начальную точку количество прыжков вправо должно быть в точности равно количеству прыжков влево.

Теперь найдем общее количество прыжков $N$, используя полученное равенство:

$$ N = n_R + n_L $$

Поскольку $n_R = n_L$, мы можем заменить $n_L$ на $n_R$ в формуле:

$$ N = n_R + n_R = 2 \cdot n_R $$

Общее количество прыжков $N$ равно удвоенному количеству прыжков, сделанных вправо. Так как $n_R$ — это целое число (поскольку это количество прыжков), то любое целое число, умноженное на 2, является чётным числом по определению.

Следовательно, общее количество прыжков, которое совершил кузнечик, обязательно является чётным числом. Что и требовалось доказать.