Номер 7, страница 201 - гдз по математике 6 класс сборник задач Пирютко, Терешко

7. Сумма пяти чисел равна 200. Докажите, что их произведение не может оканчиваться на 2019.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом от противного. Предположим, что существуют пять чисел, сумма которых равна 200, а их произведение оканчивается на 2019.

Обозначим эти пять чисел как $a_1, a_2, a_3, a_4, a_5$. По условию задачи, их сумма равна 200:$$a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 = 200$$

По нашему предположению, их произведение $P = a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \cdot a_4 \cdot a_5$ оканчивается на 2019. Это означает, что последняя цифра произведения $P$ равна 9.

Чтобы последняя цифра произведения была 9, все сомножители должны быть нечетными числами. Если бы среди пяти чисел было хотя бы одно четное число, то их произведение также было бы четным и оканчивалось бы на четную цифру (0, 2, 4, 6 или 8). Таким образом, все пять чисел $a_1, a_2, a_3, a_4, a_5$ должны быть нечетными.

Теперь рассмотрим сумму этих пяти нечетных чисел. Сумма нечетного количества нечетных слагаемых всегда является нечетным числом.

• нечет. + нечет. = чет.
• чет. + нечет. = нечет.
• нечет. + нечет. = чет.
• чет. + нечет. = нечет.

В общем виде: сумма пяти нечетных чисел $(2k_1+1) + (2k_2+1) + (2k_3+1) + (2k_4+1) + (2k_5+1) = 2(k_1+k_2+k_3+k_4+k_5) + 5 = 2(K) + 4 + 1 = 2(K+2) + 1$, что является нечетным числом.

Таким образом, сумма $a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5$ должна быть нечетным числом. Однако по условию задачи она равна 200, а 200 — это четное число.

Возникло противоречие: сумма пяти нечетных чисел не может быть равна четному числу 200. Это означает, что наше исходное предположение было неверным.

Следовательно, произведение пяти чисел, сумма которых равна 200, не может оканчиваться на 2019. Что и требовалось доказать.