Номер 1, страница 200 - гдз по математике 6 класс сборник задач Пирютко, Терешко

1. Вдоль дороги растут 2018 деревьев. Утром на каждом из них сидело по одной сороке. В полдень каждая сорока взлетела и перелетела на дерево, растущее через одно от того, с которого она взлетела. Могло ли так получиться, чтобы на каждом дереве вновь сидело по одной сороке?

Для решения этой задачи пронумеруем все деревья по порядку от 1 до 2018. Изначально на каждом дереве с номером $n$ сидит одна сорока. Условие "перелетела на дерево, растущее через одно" означает, что сорока с дерева с номером $n$ могла перелететь либо на дерево с номером $n-2$, либо на дерево с номером $n+2$ (если такие деревья существуют в ряду от 1 до 2018).

Ключевым моментом для решения является четность номеров деревьев. Давайте посмотрим, как меняется четность номера дерева, на котором сидит сорока, после перелета.

• Если сорока сидела на дереве с четным номером $2k$, то она может перелететь на дерево $2k-2 = 2(k-1)$ или $2k+2 = 2(k+1)$. Оба этих номера также являются четными.
• Если сорока сидела на дереве с нечетным номером $2k+1$, то она может перелететь на дерево $(2k+1)-2 = 2k-1$ или $(2k+1)+2 = 2k+3$. Оба этих номера также являются нечетными.

Таким образом, сороки, которые изначально сидели на деревьях с четными номерами, после перелета окажутся снова на деревьях с четными номерами. А сороки с нечетных номеров — на нечетных. Это означает, что задача распадается на две независимые части: одна для четных номеров, другая для нечетных.

Рассмотрим группу деревьев с нечетными номерами. Всего деревьев 2018. Из них с нечетными номерами: $1, 3, 5, \dots, 2017$. Количество таких деревьев равно $2018 / 2 = 1009$. На этих 1009 деревьях изначально сидело 1009 сорок, и после перелета они должны снова занять эти же 1009 деревьев так, чтобы на каждом сидело по одной.

Давайте применим еще один метод раскраски к этой группе нечетных деревьев. Покрасим деревья с нечетными номерами в два цвета по следующему правилу:

• Деревья с номерами вида $4k+1$ (1, 5, 9, ...) покрасим в первый цвет.
• Деревья с номерами вида $4k+3$ (3, 7, 11, ...) покрасим во второй цвет.

Теперь посмотрим, куда может перелететь сорока в зависимости от цвета ее дерева:

• Сорока с дерева первого цвета (номер $4k+1$) перелетает на дерево с номером $(4k+1)-2 = 4k-1 = 4(k-1)+3$ или $(4k+1)+2 = 4k+3$. Оба этих номера соответствуют деревьям второго цвета.
• Сорока с дерева второго цвета (номер $4k+3$) перелетает на дерево с номером $(4k+3)-2 = 4k+1$ или $(4k+3)+2 = 4k+5 = 4(k+1)+1$. Оба этих номера соответствуют деревьям первого цвета.

Получается, что все сороки с деревьев первого цвета должны перелететь на деревья второго цвета, и наоборот.

Посчитаем, сколько у нас деревьев каждого цвета в группе нечетных номеров (от 1 до 2017):

• Первый цвет (вид $4k+1$): $1, 5, \dots, 2017$. Количество таких деревьев равно $\frac{2017-1}{4} + 1 = 504 + 1 = 505$.
• Второй цвет (вид $4k+3$): $3, 7, \dots, 2015$. Количество таких деревьев равно $\frac{2015-3}{4} + 1 = 503 + 1 = 504$.

Итак, у нас есть 505 деревьев первого цвета и 504 дерева второго цвета. После перелета все 505 сорок, сидевшие на деревьях первого цвета, должны будут занять места на 504 деревьях второго цвета. Согласно принципу Дирихле, как минимум на одном из деревьев второго цвета окажется больше одной сороки. В то же время, 504 сороки с деревьев второго цвета должны занять 505 деревьев первого цвета. Это означает, что как минимум одно дерево первого цвета останется пустым.

Таким образом, невозможно, чтобы после перелета на каждом дереве снова сидело по одной сороке.

Ответ: нет, не могло.