Номер 2, страница 200 - гдз по математике 6 класс сборник задач Пирютко, Терешко

2. Из бочки мёда перелили ложку его в неполный стакан с чаем. А потом такую же ложку неоднородной уже смеси из стакана — обратно в бочку. Теперь и в бочке, и в стакане имеется некоторый объём посторонней жидкости (мёда в стакане и чая в бочке с мёдом). Где объём посторонней жидкости больше: в стакане или в бочке?

Это классическая логическая задача, ответ на которую не является очевидным. Чтобы найти правильный ответ, можно рассуждать логически или доказать его математически.

Логическое решение

Ключевой аспект задачи — сохранение объемов. Изначально в бочке и в стакане были определенные объемы жидкостей. После двух переливаний (ложку из бочки в стакан, а затем ложку из стакана обратно) итоговые объемы жидкостей в каждой емкости вернулись к первоначальным.

Рассмотрим бочку. Из нее взяли одну ложку мёда. Затем в нее вернули одну ложку смеси, состоящей из чая и мёда. Поскольку итоговый объем жидкости в бочке не изменился, то объем мёда, который "ушел" из бочки и не вернулся, должен быть в точности равен объему чая, который "пришел" в бочку с ложкой смеси.

Следовательно, объем чая в бочке (посторонняя жидкость для бочки) равен объему мёда в стакане (посторонняя жидкость для стакана).

Математическое доказательство

Для большей строгости представим процесс в виде формул. Обозначим:

• $V_L$ — объем ложки.
• $V_{tea}$ — первоначальный объем чая в стакане.

Шаг 1: Переливаем ложку мёда из бочки в стакан.

Теперь в стакане находится $V_{tea}$ чая и $V_L$ мёда. Общий объем смеси в стакане стал $V_{tea} + V_L$. Концентрация чая в этой смеси составляет $c_{tea} = \frac{V_{tea}}{V_{tea} + V_L}$.

Шаг 2: Переливаем ложку смеси ($V_L$) из стакана обратно в бочку.

Количество чая, которое попадает в бочку (и является для нее посторонней жидкостью), равно объему ложки, умноженному на концентрацию чая в смеси:

Объём чая в бочке = $V_L \times c_{tea} = V_L \times \frac{V_{tea}}{V_{tea} + V_L} = \frac{V_L V_{tea}}{V_{tea} + V_L}$.

Шаг 3: Рассчитаем объем мёда, оставшегося в стакане.

Изначально в стакан добавили $V_L$ мёда. Со второй ложкой часть этого мёда (в составе смеси) вернулась в бочку. Концентрация мёда в смеси была $c_{honey} = \frac{V_L}{V_{tea} + V_L}$. Значит, объём мёда, который вернулся в бочку, равен: $V_L \times c_{honey} = V_L \times \frac{V_L}{V_{tea} + V_L}$.

Следовательно, объем мёда, оставшийся в стакане (посторонняя жидкость для стакана), равен разнице между добавленным и унесенным мёдом:

Объём мёда в стакане = $V_L - \left(V_L \times \frac{V_L}{V_{tea} + V_L}\right) = V_L \left(1 - \frac{V_L}{V_{tea} + V_L}\right) = V_L \left(\frac{V_{tea} + V_L - V_L}{V_{tea} + V_L}\right) = \frac{V_L V_{tea}}{V_{tea} + V_L}$.

Вывод

Сравнивая полученные результаты:

• Объём чая в бочке: $\frac{V_L V_{tea}}{V_{tea} + V_L}$
• Объём мёда в стакане: $\frac{V_L V_{tea}}{V_{tea} + V_L}$

Мы видим, что объемы посторонних жидкостей в обеих ёмкостях абсолютно одинаковы.

Где объём посторонней жидкости больше: в стакане или в бочке? Ответ: Объёмы посторонней жидкости в бочке и в стакане равны.