Номер 3, страница 200 - гдз по математике 6 класс сборник задач Пирютко, Терешко

3. Одному специалисту по молекулярной биологии удалось вывести редкую разновидность бактерий. Ежечасно каждая бактерия делится на три части, каждая из них мгновенно достигает размеров взрослой бактерии и спустя час также делится на три части.

а) В полдень биолог положил одну бактерию в стерильный контейнер с питательной средой. К полуночи контейнер оказался наполнен бактериями до отказа. Когда контейнер наполнился на одну треть?

б) В полдень биолог положил в стерильный контейнер с питательной средой не одну, а три бактерии. Когда наполнился контейнер?

Для решения этой задачи нужно понять, что количество бактерий каждый час увеличивается в три раза. Это экспоненциальный рост, который можно описать формулой $N(t) = N_0 \cdot 3^t$, где $N_0$ — начальное количество бактерий, а $t$ — время в часах.

а)

Эксперимент начинается в полдень (12:00) с одной бактерии ($N_0 = 1$) и заканчивается в полночь (00:00), когда контейнер полностью заполнен. Общее время эксперимента составляет 12 часов.

Рассуждать можно от конечного состояния. Если в полночь контейнер был полон, а за каждый час количество бактерий утраивается, то за час до этого (в 23:00) бактерий было в три раза меньше. Следовательно, контейнер был заполнен ровно на одну треть. За последний час, с 23:00 до 00:00, количество бактерий утроилось и заполнило весь контейнер.

Математически: полный контейнер соответствует количеству бактерий через 12 часов, то есть $1 \cdot 3^{12}$. Заполнение на одну треть соответствует количеству $\frac{3^{12}}{3} = 3^{11}$. Чтобы достичь этого количества, требуется 11 часов, так как $3^t = 3^{11}$ дает $t=11$. Отсчитываем 11 часов от полудня: 12:00 + 11 часов = 23:00.

Ответ: Контейнер наполнился на одну треть в 23:00.

б)

В этом случае эксперимент начинается сразу с тремя бактериями ($N_0 = 3$). Это эквивалентно ситуации из пункта "а", но уже после первого часа деления (когда одна бактерия превратилась в три).

Таким образом, весь процесс заполнения контейнера начался с "форой" в один час. Следовательно, он завершится на один час раньше, чем в первом случае. Если в первом случае на заполнение ушло 12 часов, то во втором уйдет: $12 - 1 = 11$ часов.

Отсчитываем 11 часов от времени начала, то есть от полудня: 12:00 + 11 часов = 23:00.

Математически: полное количество бактерий в контейнере, как мы знаем из пункта "а", равно $3^{12}$. Нам нужно найти время $t$, когда количество бактерий, начавшееся с 3, достигнет этого значения: $3 \cdot 3^t = 3^{12} \implies 3^{t+1} = 3^{12} \implies t+1=12 \implies t=11$ часов.

Ответ: Контейнер наполнится в 23:00.