Номер 4, страница 201 - гдз по математике 6 класс сборник задач Пирютко, Терешко

4. Страницы книги пронумерованы подряд от первой до последней. Так как книга была ветхая, то 25 листов выпали. Библиотекарь сложил все номера выпавших страниц. У него получилось число 2020. Когда об этом узнал шестиклассник Петя, он заявил, что при подсчёте библиотекарь ошибся. Объясните, почему Петя действительно прав.

Петя абсолютно прав, и его утверждение можно доказать с помощью анализа четности чисел.

1. Каждый лист в книге имеет две стороны, то есть две страницы. Номера этих страниц всегда являются двумя последовательными натуральными числами. Обозначим номер первой страницы листа как $n$, тогда номер второй страницы будет $n+1$.
2. Найдем сумму номеров страниц на одном любом листе. Она будет равна: $S_{лист} = n + (n+1) = 2n + 1$
3. Выражение $2n$ для любого натурального $n$ всегда дает четное число. Если к любому четному числу прибавить 1, результат всегда будет нечетным числом. Следовательно, сумма номеров страниц на одном любом выпавшем листе — это всегда нечетное число.
4. По условию задачи, из книги выпало 25 листов. Это означает, что для получения общей суммы библиотекарь складывал 25 чисел, каждое из которых, как мы только что выяснили, является нечетным.
5. Вспомним свойство сложения нечетных чисел:
   • Сумма четного количества нечетных чисел — всегда число четное (например, $3+5=8$).
   • Сумма нечетного количества нечетных чисел — всегда число нечетное (например, $3+5+7=15$).
   Поскольку библиотекарь складывал суммы номеров с 25 листов (нечетное количество), итоговый результат обязательно должен быть нечетным числом.
6. Библиотекарь получил в результате сложения число 2020. Это число является четным, так как оканчивается на 0.

Возникает противоречие: теоретически рассчитанная сумма должна быть нечетной, а у библиотекаря получилось четное число (2020). Это означает, что такая ситуация невозможна, и при подсчете была допущена ошибка.

Ответ: Библиотекарь ошибся, так как сумма номеров страниц на 25 листах представляет собой сумму 25 нечетных чисел, которая обязательно должна быть нечетной. Полученное число 2020 является четным, что невозможно.