Номер 6, страница 201 - гдз по математике 6 класс сборник задач Пирютко, Терешко

6. Шестиклассники школы сладкоежек собирают конфетные фантики трёх цветов — зелёного, синего и красного — и обмениваются ими по правилам: меняют либо $3$ синих фантика на $5$ зелёных (и наоборот, $5$ зелёных на $3$ синих), либо $7$ красных фантиков на $11$ синих (и наоборот, $11$ синих на $7$ красных). Могло ли у ребят в конце месяца оказаться $1111$ фантиков, если в начале месяца у них было $1000$ фантиков?

Для того чтобы ответить на этот вопрос, необходимо проанализировать, как каждый возможный обмен влияет на общее количество фантиков.

В задаче описаны два вида обмена:

1. Обмен 3 синих фантиков на 5 зелёных (и наоборот).
2. Обмен 7 красных фантиков на 11 синих (и наоборот).

Рассмотрим изменение общего количества фантиков при каждом обмене:

• Обмен зелёных и синих фантиков:
  Если обменять 3 синих фантика на 5 зелёных, общее количество фантиков изменится на $5 - 3 = +2$.
  Если обменять 5 зелёных на 3 синих, общее количество изменится на $3 - 5 = -2$.
  В обоих случаях общее количество фантиков изменяется на чётное число (2 или -2).
• Обмен красных и синих фантиков:
  Если обменять 7 красных фантиков на 11 синих, общее количество фантиков изменится на $11 - 7 = +4$.
  Если обменять 11 синих на 7 красных, общее количество изменится на $7 - 11 = -4$.
  В обоих случаях общее количество фантиков также изменяется на чётное число (4 или -4).

Таким образом, каждая операция обмена, разрешенная по правилам, изменяет общее количество фантиков на чётное число. Это означает, что чётность общего количества фантиков не может измениться, сколько бы обменов ни было совершено. Если к начальному числу фантиков (которое является чётным или нечётным) прибавить или вычесть чётное число, то чётность итоговой суммы останется прежней.

Проверим чётность начального и конечного количества фантиков:

• Начальное количество фантиков: $1000$ — это чётное число.
• Предполагаемое конечное количество фантиков: $1111$ — это нечётное число.

Поскольку изначально у ребят было чётное число фантиков, а все операции обмена изменяют их количество на чётное число, то итоговое количество фантиков всегда должно оставаться чётным. Следовательно, получить нечётное количество фантиков (1111) невозможно.

Ответ: Нет, не могло.