Номер 8, страница 201 - гдз по математике 6 класс сборник задач Пирютко, Терешко

8. Произведение трёх натуральных чисел оканчивается на 2022. Докажите, что их сумма не может равняться 19 999.

Пусть $a, b, c$ — три натуральных числа, о которых говорится в задаче.

1. Анализ произведения.

По условию, произведение этих чисел $P = a \cdot b \cdot c$ оканчивается на 2022. Это означает, что $P \equiv 2022 \pmod{10000}$.

Рассмотрим чётность произведения. Так как число 2022 чётное (оканчивается на 2), то и произведение $P$ является чётным. Чтобы произведение трёх натуральных чисел было чётным, хотя бы одно из них должно быть чётным.

Теперь рассмотрим делимость произведения $P$ на 4. Число делится на 4 тогда и только тогда, когда число, образованное его последними двумя цифрами, делится на 4. Последние две цифры числа $P$ — это 22. Поскольку $22 = 4 \times 5 + 2$, число 22 не делится на 4. Следовательно, и произведение $P$ не делится на 4, а при делении на 4 даёт остаток 2. Математически это записывается так: $P \equiv 2 \pmod{4}$.

Проанализируем, какими должны быть числа $a, b, c$, чтобы их произведение $a \cdot b \cdot c$ давало остаток 2 при делении на 4:

• Если бы хотя бы одно из чисел делилось на 4, то и их произведение делилось бы на 4, что противоречит $P \equiv 2 \pmod{4}$.
• Если бы среди чисел было два или три чётных, то их произведение было бы кратно $2 \times 2 = 4$, что также противоречит $P \equiv 2 \pmod{4}$.
• Если бы все три числа были нечётными, их произведение было бы нечётным, что противоречит тому, что $P$ — чётное число.

Таким образом, единственно возможный случай — ровно одно из трёх чисел является чётным, а два других — нечётными.

2. Анализ суммы и доказательство.

Мы установили, что из трёх чисел $a, b, c$ одно является чётным, а два — нечётными. Найдём, какой чётности будет их сумма $S = a + b + c$.

Сумма чётного числа и двух нечётных чисел:

$S = \text{чётное} + \text{нечётное} + \text{нечётное}$

Так как сумма двух нечётных чисел всегда является чётным числом, получаем:

$S = \text{чётное} + (\text{нечётное} + \text{нечётное}) = \text{чётное} + \text{чётное} = \text{чётное}$.

Следовательно, сумма $S$ трёх данных чисел обязательно должна быть чётным числом.

В задаче утверждается, что сумма не может равняться 19999. Число 19999 является нечётным. Это прямо противоречит нашему выводу о том, что сумма $S$ должна быть чётной. Следовательно, предположение, что сумма может быть равна 19999, неверно. Что и требовалось доказать.