Номер 14, страница 202 - гдз по математике 6 класс сборник задач Пирютко, Терешко

14. У инопланетян может быть произвольное число рук. Однажды все они взялись за руки так, что свободных рук не осталось. Докажите, что число инопланетян, у которых нечётное число рук, чётно.

Для доказательства данного утверждения рассмотрим общее количество рук всех инопланетян. Обозначим это количество как $R_{общ}$.

По условию задачи, все инопланетяне взялись за руки так, что свободных рук не осталось. Это означает, что каждая рука участвует ровно в одном "рукопожатии". Поскольку для одного рукопожатия требуется две руки, все руки можно разбить на пары. Если некое множество объектов можно полностью разбить на пары, то общее количество этих объектов обязательно является чётным числом. Следовательно, общее количество рук $R_{общ}$ — чётно.

Теперь разделим всех инопланетян на две группы:

• Группа 1: инопланетяне, у которых чётное число рук.
• Группа 2: инопланетяне, у которых нечётное число рук.

Общее количество рук $R_{общ}$ можно представить как сумму рук инопланетян из первой группы ($S_{чёт}$) и второй группы ($S_{нечёт}$):

$R_{общ} = S_{чёт} + S_{нечёт}$

Рассмотрим сумму $S_{чёт}$. Она является суммой чётных чисел (так как у каждого инопланетянина в этой группе чётное число рук). Сумма любого количества чётных чисел всегда является чётным числом. Таким образом, $S_{чёт}$ — чётное число.

Теперь вернёмся к нашему равенству и проанализируем его с точки зрения чётности:

Чётное число ($R_{общ}$) = Чётное число ($S_{чёт}$) + $S_{нечёт}$

Из этого равенства следует, что $S_{нечёт}$ также должно быть чётным числом, поскольку разность двух чётных чисел ($R_{общ} - S_{чёт}$) всегда даёт чётное число.

Сумма $S_{нечёт}$ состоит из слагаемых, каждое из которых является нечётным числом (это руки инопланетян из Группы 2). Сумма нечётных чисел является чётной тогда и только тогда, когда количество слагаемых в ней чётно.

Количество слагаемых в сумме $S_{нечёт}$ — это и есть число инопланетян, у которых нечётное число рук. Так как сумма $S_{нечёт}$ чётна, то и количество таких инопланетян должно быть чётным.

Таким образом, утверждение доказано. Ответ: Число инопланетян, у которых нечётное число рук, является чётным.