Номер 34.39, страница 170 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

34.39*. Упростите выражение

$ \frac{a^2 - 2a + 5}{4a - 4} - \frac{a - 4b}{a^2 + 2} \cdot \left(\frac{3a^2}{a^2 - 4ab - a + 4b} - \frac{2a + 2}{a - 4b}\right) $

Для упрощения данного выражения выполним действия по порядку, соблюдая их очередность: сначала действия в скобках, затем умножение и в конце вычитание.

1. Выполним действие в скобках: $ \frac{3a^2}{a^2 - 4ab - a + 4b} - \frac{2a + 2}{a - 4b} $.

Для начала, разложим на множители знаменатель первой дроби методом группировки:

$ a^2 - 4ab - a + 4b = (a^2 - a) - (4ab - 4b) = a(a - 1) - 4b(a - 1) = (a - 1)(a - 4b) $.

Теперь подставим разложенный знаменатель обратно в выражение в скобках:

$ \frac{3a^2}{(a - 1)(a - 4b)} - \frac{2a + 2}{a - 4b} $.

Приведем дроби к общему знаменателю $ (a - 1)(a - 4b) $. Для этого домножим числитель и знаменатель второй дроби на $ (a - 1) $:

$ \frac{3a^2}{(a - 1)(a - 4b)} - \frac{(2a + 2)(a - 1)}{(a - 1)(a - 4b)} $.

Объединим дроби и упростим числитель:

$ \frac{3a^2 - (2a + 2)(a - 1)}{(a - 1)(a - 4b)} = \frac{3a^2 - (2a^2 - 2a + 2a - 2)}{(a - 1)(a - 4b)} = \frac{3a^2 - (2a^2 - 2)}{(a - 1)(a - 4b)} = \frac{3a^2 - 2a^2 + 2}{(a - 1)(a - 4b)} = \frac{a^2 + 2}{(a - 1)(a - 4b)} $.

2. Теперь выполним умножение полученного результата на дробь $ \frac{a - 4b}{a^2 + 2} $:

$ \frac{a - 4b}{a^2 + 2} \cdot \frac{a^2 + 2}{(a - 1)(a - 4b)} $.

Сократим одинаковые множители $ (a - 4b) $ и $ (a^2 + 2) $ в числителе и знаменателе:

$ \frac{\cancel{a - 4b}}{\cancel{a^2 + 2}} \cdot \frac{\cancel{a^2 + 2}}{(a - 1)(\cancel{a - 4b})} = \frac{1}{a - 1} $.

3. Подставим полученный результат в исходное выражение и выполним вычитание:

$ \frac{a^2 - 2a + 5}{4a - 4} - \frac{1}{a - 1} $.

Вынесем общий множитель в знаменателе первой дроби: $ 4a - 4 = 4(a - 1) $.

$ \frac{a^2 - 2a + 5}{4(a - 1)} - \frac{1}{a - 1} $.

Приведем дроби к общему знаменателю $ 4(a - 1) $:

$ \frac{a^2 - 2a + 5}{4(a - 1)} - \frac{1 \cdot 4}{4(a - 1)} = \frac{a^2 - 2a + 5 - 4}{4(a - 1)} = \frac{a^2 - 2a + 1}{4(a - 1)} $.

Заметим, что числитель $ a^2 - 2a + 1 $ является формулой квадрата разности: $ (a - 1)^2 $.

Подставим это в выражение:

$ \frac{(a - 1)^2}{4(a - 1)} $.

Сократим дробь на общий множитель $ (a - 1) $:

$ \frac{\cancel{(a - 1)^2}}{4(\cancel{a - 1})} = \frac{a - 1}{4} $.

Ответ: $ \frac{a - 1}{4} $.